В данном задании может быть несколько верных ответов. Укажите все, которые Вы считаете верными, однако обратите внимание, что в случае, если не все верные ответы отмечены или отмечен неверный вариант, балл снижается.
Выберите верные утверждения.
Сумма десяти целых чисел всегда больше десяти.
Если некоторое число можно разделить в пропорции 1:5 на два натуральных числа, то оно делится нацело на 3.
Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел всегда больше их наибольшего общего делителя.
Разность двух натуральных чисел может не быть натуральным числам
Рассмотрим каждое утверждение подробно и определим, правильное ли оно:
1. **"Сумма десяти целых чисел всегда больше десяти."**
- Не обязательно. Например, возьмём десять чисел: all zeros: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.
- Их сумма равна 0, которая не больше 10.
- Значит, утверждение неверное.
2. **"Если некоторое число можно разделить в пропорции 1:5 на два натуральных числа, то оно делится нацело на 3."**
- Пусть число x можно разделить в пропорции 1:5, значит:
- есть два числа a и b, такие что: a + b = x, и a:b = 1:5 (то есть a = k, b = 5k, где k — натуральное число).
- Тогда, x = a + b = k + 5k = 6k.
- Из этого следует, что x делится на 6, значит делится и на 3.
- Поскольку 6 делится на 3, то x делится на 3.
- Утверждение — верное.
3. **"Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел всегда больше их наибольшего общего делителя."**
- Известно, что для двух чисел a и b:
\(\mathrm{НОК}(a, b) \times \mathrm{НОД}(a, b) = a \times b\).
- Наименьшее общее кратное (НОК) равно \(\frac{a \times b}{\mathrm{НОД}(a, b)}\).
- Так как \(\mathrm{НОД}(a, b) \leq a\) и \(\mathrm{НОД}(a, b) \leq b\), то \(\mathrm{НОК}(a, b) \geq \max(a, b / \mathrm{НОД}(a, b))\), но это не обязательно больше их наибольшего общего делителя.
- Рассмотрим пример:
- a=2, b=4
- \(\mathrm{НОД}(2,4)=2\), \(\mathrm{НОК}(2,4)=4\).
- Наибольший общий делитель — 2, наименьшее общее кратное — 4, т.е. оно равно наибольшему общему делителю (2) умноженному на 2.
- Но утверждение говорит "всегда больше". В данном случае 4 — не больше 4, а равно. Значит, утверждение — неправда.
4. **"Разность двух натуральных чисел может не быть натуральным числом."**
- Разность двух натуральных чисел a и b: a - b.
- Если a ≥ b, то a - b — натуральное число или 0 (но в классической постановке натуральных чисел обычно 1,2,3...).
- Если a < b, то a - b будет отрицательным числом, а отрицательное число — не натуральное.
- Поэтому, чтобы разность была натуральным числом, нужно, чтобы первое число было не меньше второго.
- В общем случае, если говорим просто о натуральных числах, то разность может оказаться не натуральной.
- Итог: утверждение — верное.
---
**Ответ:**
Правильные утверждения — **второе и четвертое**.
Пояснение:
- 2) верно, потому что число при делении пропорции 1:5 делится на 6, следовательно, делится и на 3.
- 4) верно, потому что разность двух натуральных чисел может быть отрицательной (не натуральной).
- 1) и 3) — неверные.
