Рассмотрим задачу поэтапно, чтобы найти искомое расстояние. Так как целью является понимание, я подробно объясню каждый шаг.

---

Дано:

• Параллельность плоскостей: плоскости квадрата \(ABCD\) и \(AFB\) перпендикулярны.
• \(O\) — центр квадрата \(ABCD\).
• Длина стороны квадрата: \(AB = 10 \text{ см}\).
• \(AF = BF = 15 \text{ см}\).

Теперь приступим к решению.

---

Шаг 1. Построение и расположение фигуры

Параметры квадрата \(ABCD\):

• Стандартно получим координатную систему, чтобы было удобнее искать точки.
• Пусть квадрат лежит в плоскости \(XY\).
• Центр квадрата \(O\) является средней точкой — то есть, если \(A=(0,0)\), то: \[ B = (10,0), \quad C = (10,10), \quad D = (0,10). \]
• Центр квадрата: \[ O = \left(\frac{0+10}{2}, \frac{0+10}{2}\right) = (5,5). \]

Расположение точки \(A\):

\[ A = (0,0), \] а точки \(B, C, D\) уже заданы.

---

Шаг 2. Расположение точки \(F\)

Из условия:
\(AF = BF = 15 \text{ см}\).

То есть точка \(F\) находится на окружностях радиуса 15 см, с центрами в точках \(A\) и \(B\).

Общие точки обеих окружностей с центрами в \(A\) и \(B\): \[ |AF|=15, \quad |BF|=15. \]

Обозначим координаты \(F=(x,y,z)\) (учитывая, что \(F\) может находиться вне плоскости квадрата, так как задано расстояние).

---

Шаг 3. Плоскости и условия перпендикулярности

Из условия — плоскости квадрата \(ABCD\) и треугольника \(AFB\) перпендикулярны.

• Плоскость квадрата \(ABCD\) лежит, вероятно, в плоскости \(XY\).
• Тогда её нормаль — перпендикулярна плоскости \(XY\); то есть нормаль равна вектору, перпендикулярному к плоскости, например, по \(Z\).

Предположим: \[ \text{Плоскость } ABCD: z=0. \]

Тогда — чтобы плоскости \(ABCD\) и \(AFB\) были перпендикулярны — вторая плоскость должна быть перпендикулярна плоскости \(XY\), то есть, ее нормаль должна быть параллельна оси \(Z\) (перпендикулярна к \(XY\)).

Значит, плоскость \(AFB\) должна иметь нормаль, параллельную оси \(Z\).

---

Шаг 4. Положение точки \(F\)

Поскольку \(F\) находится не в плоскости \(z=0\), и при этом, чтобы \(AF=15\) и \(BF=15\):

• \(A=(0,0,0)\),
• \(B=(10,0,0)\),
• \(F=(x,y,z)\).

Условия расстояний: \[ AF: \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} = 15, \] \[ BF: \sqrt{(x-10)^2 + y^2 + z^2} = 15. \]

Это две окружности в пространстве, и точка \(F\) — на их пересечении.

---

Шаг 5. Уравнения окружностей

Запишем:

\[ x^2 + y^2 + z^2 = 225, \quad \text{(1)} \] \[ (x-10)^2 + y^2 + z^2 = 225. \quad \text{(2)} \]

Вычитая (2) из (1):

\[ x^2 + y^2 + z^2 - [(x-10)^2 + y^2 + z^2] = 0, \] \[ x^2 - (x^2 - 20x + 100) = 0, \] \[ x^2 - x^2 + 20x - 100 = 0, \] \[ 20x = 100, \] \[ x = 5. \]

Итак, \(x=5\).

Подставим \(x=5\) в уравнение (1):

\[ 5^2 + y^2 + z^2 = 225, \] \[ 25 + y^2 + z^2 = 225, \] \[ y^2 + z^2 = 200. \]

Значит, точки \(F\) лежат на гиперскопе:

\[ F = (5, y, z), \quad y^2 + z^2 = 200. \]

---

Шаг 6. Условие перпендикулярности плоскости \(AFB\) к плоскости \(ABCD\)

Далее, положение точки \(F\) должно обеспечить, что плоскость \(AFB\) перпендикулярна плоскости \(ABCD\).

Плоскость \(ABCD\) — плоскость \(z=0\).

Плоскость \(AFB\) задается тремя точками:

\[ A = (0,0,0), \] \[ B = (10,0,0), \] \[ F = (5, y, z). \]

---

Шаг 7. Векторное уравнение плоскости \(AFB\)

Векторы:

\[ \vec{AB} = (10, 0, 0), \] \[ \vec{AF} = (5, y, z). \]

Нормаль к плоскости \(\vec{n}\):

\[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AF}. \]

Вычислим:

\[ \vec{n} = (10, 0, 0) \times (5, y, z) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & 0 & 0 \\ 5 & y & z \\ \end{vmatrix}. \]

Определитель:

\[ \mathbf{i}(0 \cdot z - 0 \cdot y) - \mathbf{j}(10 \cdot z - 0 \cdot 5) + \mathbf{k}(10 \cdot y - 0 \cdot 5), \]

\[ \Rightarrow \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(10z) + \mathbf{k}(10 y). \]

Итак,

\[ \boxed{ \vec{n} = (0, -10z, 10 y). } \]

Для перпендикулярности плоскости \(AFB\) плоскости \(ABCD\), её нормаль должна быть параллельна вектору, перпендикулярному \(z=0\).

Плоскость \(ABCD\) — это плоскость \(z=0\), её нормаль — по оси \(z\).

То есть, чтобы максимально обеспечить перпендикулярность, \( \vec{n} \) должно быть ортогонально вектору нормали плоскости \(z=0\), которым является вектор как раз по оси \(z\), то есть, вектора \(\vec{n}\) должны быть параллельны по оси \(z\).

Это возможно, если \(y=0\).

Проверка:

\[ \vec{n} = (0, -10z, 10 y) = (0, -10z, 0), \]

что по сути равно нулю по \(z\), значит,нормаль \(\vec{n}\) направлена по оси \(y\), и плоскость \(AFB\) перпендикулярна плоскости в случае, если \(y=0\).

---

Шаг 8. Итоговое положение \(F\)

Объем условий: \[ y=0, \] \[ y^2 + z^2=200 \Rightarrow 0 + z^2=200, \] \[ z^2=200, \] \[ z = \pm \sqrt{200} = \pm 10 \sqrt{2}. \]

Значит, две возможные точки:

\[ F = (5, 0, 10 \sqrt{2}) \quad \text{или} \quad (5, 0, -10 \sqrt{2}). \]

---

Шаг 9. Находим радиус окружности, проходящей через \(C, D, O\)

Параметры:

\[ C = (10, 10), \quad D = (0, 10), \quad O = (5,5). \]

Эти точки лежат в плоскости \(z=0\).
Нам нужно найти окружность, проходящую через эти три точки, и её центр.

---

Шаг 10. Уравнение окружности через \(C, D, O\)

Это окружность в плоскости \(z=0\). Координаты в 2D:

\[ C(10, 10), \quad D(0, 10), \quad O(5,5). \]

Ищем центр \((x_0, y_0)\) и радиус \(R\).

• Центр окружности — точка равноудаленная от всех трех точек.

Рассмотрим систему для центра.

Средние точки отрезков:

• Отрезка \(CD\):

Средняя точка:

\[ M_{CD} = \left(\frac{10+0}{2}, \frac{10+10}{2}\right) = (5, 10). \]

• Отрезка \(CO\):

\[ M_{CO} = \left(\frac{10+5}{2}, \frac{10+5}{2}\right) = (7.5, 7.5). \]

Обозначим центр окружности как \((x_0, y_0)\).

Рассмотрим уравнения равенства расстояний:

\[ |C - (x_0,y_0)| = |D - (x_0,y_0)| = |O - (x_0,y_0)| = R. \]

Уравнение аппроксимации центра по двум отрезкам:

\[ |C - (x_0,y_0)|^2 = |D - (x_0,y_0)|^2, \] \[ (10 - x_0)^2 + (10 - y_0)^2 = (0 - x_0)^2 + (10 - y_0)^2, \]

откуда:

\[ (10 - x_0)^2 = x_0^2, \] \[ (10 - x_0)^2 = x_0^2, \] раскроем:

\[ 100 - 20x_0 + x_0^2 = x_0^2, \] \[ 100 - 20x_0 = 0, \] \[ 20x_0= 100, \] \[ x_0=5. \]

Подставим в уравнение:

\[ |O - (x_0,y_0)|^2 = (5 - 5)^2 + (5 - y_0)^2 = (0)^2 + (5 - y_0)^2. \]

Радиус, по сути, равен расстоянию от центра \( (5,y_0) \) до точки \(O\).

Выберем точку \(O\) подставляя в уравнение радиуса:

\[ (5 - 5)^2 + (5 - y_0)^2 = R^2, \] \[ (0)^2 + (5 - y_0)^2 = R^2, \]

чтобы центр окружности лежал на перпендикуляре к отрезку \(CO\), и чтобы радиус был одинаковым.

Аналогично, рассматриваем отрезки \(D, O\):

\[ |D - (x_0,y_0)|^2 = (0 - 5)^2 + (10 - y_0)^2, \] \[ (5)^2 + (10 - y_0)^2. \]

Равно радиусу:

\[ (5)^2 + (10 - y_0)^2 = R^2, \] \[ 25 + (10 - y_0)^2, \]

и оно должно быть равно \( R^2 \):

\[ (5 - y_0)^2 = 25 + (10 - y_0)^2, \] раскроем:

\[ (5 - y_0)^2 = 25 + (10 - y_0)^2, \] \[ (25 - 10 y_0 + y_0^2) = 25 + (100 - 20 y_0 + y_0^2), \] \[ 25 - 10 y_0 + y_0^2 = 125 - 20 y_0 + y_0^2, \] минус \( y_0^2 \) по обе стороны:

\[ 25 - 10 y_0 = 125 - 20 y_0, \] \[ 25 - 10 y_0 + 20 y_0 = 125, \] \[ 25 + 10 y_0 = 125, \] \[ 10 y_0= 100, \] \[ y_0=10. \]

Отлично, получаем центр:

\[ (x_0,y_0) = (5,10), \] и радиус:

\[ R = \sqrt{(0 - 5)^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{25 + 0} = 5. \]

---

Ответ:

Расстояние от точки \(F\) до центра окружности (проходящей через \(C, D, O\)) — это расстояние между точкой \(F = (5, 0, \pm 10\sqrt{2})\) и центром окружности \((5,10)\) в плоскости \(z=0\).

Вычислим для точки \(F\):

\[ d = \sqrt{(x_F - x_C)^2 + (y_F - y_C)^2 + (z_F - z_{center})^2}. \]

Но окружность лежит в плоскости \(z=0\), центр — \((5, 10)\).
Расстояние:

\[ d = \sqrt{(5 - 5)^2 + (0 - 10)^2 + (\pm 10\sqrt{2} - 0)^2}. \]

Это равно:

\[ d = \sqrt{0 + 100 + (10 \sqrt{2})^2}. \]

Так как:

\[ (10 \sqrt{2})^2 = 100 \times 2 = 200, \]

итого:

\[ d = \sqrt{100 + 200} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}. \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \boxed{10 \sqrt{3} \text{ см}} } \]

Это — расстояние от точки \(F\), выбранной по условиям задачи, до центра окружности через точки \(C, D, O\).

---

Если потребуется дополнительное объяснение, я готов помочь!