Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 87°. найдите угол B этой трапеции

Давайте внимательно разберём задачу: **Дано:** - Трапеция ABCD, где основания AD и BC. - Трапеция вписана в окружность. - Угол A трапеции, то есть угол при вершине A, равен 87°. - Нужно найти угол B трапеции. --- ### Шаг 1: Что означает, что трапеция вписана в окружность? Трапеция, вписанная в окружность, — это **циклотропическая трапеция**, то есть ее основания параллельны, а вершины лежат на окружности. Из свойства вписанной трапеции: - **Противоположные углы при основании равны**. - В частности, угол при вершине A и угол при вершине D — это каждый из них вписанные углы, опирающиеся на дуги окружности. --- ### Шаг 2: Свойства вписанной трапеции Вписанная трапеция является **определённой** тем, что ее вершины лежат на окружности, и основания параллельны. Также, важный факт: - **Углы при основаниях** (например, при A и D, а также при B и C) связаны с дугами окружности. ### Шаг 3: Анализ углов A и B Нам даны: - Угол A: 87°. Задача — найти угол B. ### Шаг 4: Используем свойства трапеции и окружности Пусть: - \(\angle A = 87^\circ\), - \(\angle B = ?\). В трапеции ABCD: - основания AD и BC параллелены. - из этого следует, что **углы при вершинах, расположенных напротив друг друга** по отношению к параллельным основаниям, связаны. --- ### Шаг 5: Свойство сумм углов в трапеции Для любой трапеции: - сумма углов при одних и тех же основаниях равна 180°, потому что они расположены напротив друг друга и параллельны. То есть, в трапеции: \[ \angle A + \angle D = 180^\circ, \] \[ \angle B + \angle C = 180^\circ. \] Но тут важно помнить, что трапеция вписана в окружность. --- ### Шаг 6: Связь углов вписанной трапеции с дугами окружности Поскольку трапеция вписана, тогда: - Угол при вершине A, \(\angle A = 87^\circ\), — это вписанный угол, опирающийся на дугу, **непрямо связанную с дугой**, на которой он основан. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, и ее противолежащей дуги. Обозначим: - дугу, на которую опирается угол A, как \( \widehat{AB} \). Тогда: \[ \angle A = \frac{1}{2} \times \text{дуга, на которую он опирается} \Rightarrow \text{дуга} = 2 \times 87^\circ = 174^\circ. \] Поскольку окружность 360°, то оставшаяся дуга: \[ 360^\circ - 174^\circ = 186^\circ, \] открыта противоположной дуге. Аналогично, угол B — это вписанный угол, опирающийся на другую дугу окружности. --- ### Шаг 7: Быстрая проверка В вписанной трапеции, противоположные углы при основании (A и D, B и C) — это связанные углы, образующиеся на одной дуге. Если угол A опирается на дугу в 174°, то его "противоположный" угол, например B, связан с противоположной дугой. Итог: - \(\angle A = 87^\circ\), - Тогда дуга, соответствующая этому углу, равна 174°, - Связь углов и дуг позволяет найти угол B, основанный на оставшейся дуге. --- ### **Итоговое решение:** - Вписанный угол A — 87°, он равен половине дуги, которая его опирает: дуга = 174°. - Тогда оставшаяся дуга окружности — это 186°. Поскольку трапеция — вписанная, то углы при B и C связаны с дугами окружности, и их значения зеркальны, следовательно, \[ \angle B = 87^\circ. \] --- ## **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Угол B равен } 87^\circ. } \] --- Если нужен более подробный разбор или дополнительные объяснения, пожалуйста, скажите!