в равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равно 45⁰ найдите площадь этой трапеции
Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Основания трапеции: \( AB = 8 \), \( CD = 2 \)
- Один из углов между боковой стороной и основанием равен \( 45^\circ \)
Найти: площадь трапеции.
Шаг 1: Обозначения и геометрическая схема
Обозначим:
- верхнее основание \( AB = 8 \)
- нижнее основание \( CD = 2 \)
- боковые стороны \( AD \) и \( BC \)
Пусть трапеция расположена так, что:
- \( AB \) — верхнее основание, горизонтальное
- \( CD \) — нижнее основание, горизонтальное
Обозначим точку \( A \) как левый верхний угол, \( B \) — правый верхний, \( D \) — левый нижний, \( C \) — правый нижний.
Шаг 2: Построение и введение переменных
Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \( AD = BC = x \).
Пусть угол \( \angle BAD = 45^\circ \) — угол между боковой стороной \( AD \) и основанием \( AB \).
Шаг 3: Определение положения точек
Рассмотрим треугольник \( A D \) и наклон боковой стороны.
- \( AD \) — боковая сторона, наклонена под углом \( 45^\circ \) к основанию \( AB \).
- В вершинах \( A \) и \( D \) расположены точки, поэтому:
Из свойства тангенса:
\[
\tan 45^\circ = 1 = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилегающая сторона}}
\]
Легко заметить, что, если боковая сторона \( AD \) наклонена под \( 45^\circ \), то при использовании координат можно упростить расчёты.
Шаг 4: Введение координат
Поместим trapezoid на координатную ось:
- \( A (0,0) \)
- \( B (8,0) \)
- \( D (x_D, h) \)
- \( C (x_C, h) \)
Так как \( AB = 8 \), то \( A(0,0) \), \( B(8,0) \).
Поскольку трапеция равнобедренная и основание \( CD \), то:
- \( D \) и \( C \) лежат на горизонтальной линии \( y = h \).
- Вершины \( D \) и \( C \) имеют координаты:
\[ D (x_D, h), \quad C (x_C, h) \]
- Верхнее основание \( AB = 8 \), нижнее — \( CD = 2 \).
Также, для равнобедренной трапеции:
\[ x_C = x_D + 2 \]
(так как \( C \) сдвинут на 2 вправо относительно \( D \), чтобы длинна основания \( CD = 2 \)).
Шаг 5: Условие о угле \(45^\circ\)
Угол между боковой стороной \( AD \) и основанием \( AB \) равен \(45^\circ\).
Координаты точки \( D \):
- \( A (0,0) \),
- \( D (x_D, h) \).
Касательная к \( AD \):
\[
\tan \theta = \left| \frac{\Delta y}{\Delta x} \right| = 1
\]
значит,
\[ \left| \frac{h - 0}{x_D - 0} \right| = 1 \quad \Rightarrow \quad h = x_D \]
То есть, высота \( h \) равна абсциссе \( x_D \).
Шаг 6: Связь между \( x_D \) и \( x_C \)
Поскольку \( C \) сдвинут на 2 вправо относительно \( D \):
\[ x_C = x_D + 2 \]
Высота \( h = x_D \).
Шаг 7: Определение длины основания \( CD \)
Длина \( CD \): \[ |x_C - x_D| = 2 \]
Верно, так как \( x_C = x_D + 2 \).
Шаг 8: Найти площадь трапеции
Площадь \( S \):
\[ S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h \]
Подставим значения:
\[ AB = 8, \quad CD = 2, \quad h = x_D \]
Нам осталось найти \( x_D \), чтобы выразить \( h \).
Шаг 9: Анализ боковой стороны \( AD \)
Длина боковой стороны \( AD \):
\[ AD = \sqrt{(x_D - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{x_D^2 + h^2} \]
Но поскольку \( h = x_D \), то:
\[ AD = \sqrt{x_D^2 + x_D^2} = \sqrt{2 x_D^2} = x_D \sqrt{2} \]
Шаг 10: Проверка условий равнобедренности
Обозначим боковые стороны:
\[ AD = BC = x_D \sqrt{2} \]
Также, стороны \( BC \) и \( D C \) должны быть равны, и \( BC \):
\[ BC = \text{расстояние между } B(8, 0) \text{ и } C (x_C, h) \]
Где \( x_C = x_D + 2 \), \( h = x_D \).
Расстояние \( BC \):
\[ BC = \sqrt{(x_C - 8)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{(x_D + 2 - 8)^2 + x_D^2} \]
\[ = \sqrt{(x_D - 6)^2 + x_D^2} \]
Равны ли эти боковые стороны?
Им необходимо равенство:
\[ x_D \sqrt{2} = \sqrt{(x_D - 6)^2 + x_D^2} \]
Возьмём квадрат:
\[ 2 x_D^2 = (x_D - 6)^2 + x_D^2 \]
Раскроем скобки:
\[ 2 x_D^2 = x_D^2 - 12 x_D + 36 + x_D^2 \]
Сложим подобные:
\[ 2 x_D^2 = 2 x_D^2 - 12 x_D + 36 \]
Вычтем \( 2 x_D^2 \) с обеих сторон:
\[ 0 = -12 x_D + 36 \]
Отсюда:
\[ 12 x_D = 36 \quad \Rightarrow \quad x_D = 3 \]
Вышеприведённое показывает, что:
- \( x_D = 3 \)
- \( h = x_D = 3 \)
Шаг 11: Итоговые параметры
- Высота \( h = 3 \),
- Основание \( AB = 8 \),
- Основание \( CD = 2 \) (с координатами \( D(3, 3) \), \( C(5, 3) \)),
- Проверка боковой стороны \( AD \):
\[ AD = x_D \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} \approx 4.24 \]
- Проверка боковой стороны \( BC \):
\[ BC = \sqrt{(5 - 8)^2 + 3^2} = \sqrt{(-3)^2 + 9} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \]
Совпадает, боковые стороны равны, условие выполнено.
Шаг 12: Вычисление площади
\[ S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h = \frac{(8 + 2)}{2} \times 3 = \frac{10}{2} \times 3 = 5 \times 3 = 15 \]
Итог:
Площадь трапеции равна \(\boxed{15}\) единицам площади.
