В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равно 45⁰ найдите площадь этой трапеции

Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап. **Дано:** - Основания трапеции: \( AB = 8 \), \( CD = 2 \) - Один из углов между боковой стороной и основанием равен \( 45^\circ \) **Найти:** площадь трапеции. --- ### Шаг 1: Обозначения и геометрическая схема Обозначим: - верхнее основание \( AB = 8 \) - нижнее основание \( CD = 2 \) - боковые стороны \( AD \) и \( BC \) Пусть трапеция расположена так, что: - \( AB \) — верхнее основание, горизонтальное - \( CD \) — нижнее основание, горизонтальное Обозначим точку \( A \) как левый верхний угол, \( B \) — правый верхний, \( D \) — левый нижний, \( C \) — правый нижний. --- ### Шаг 2: Построение и введение переменных Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \( AD = BC = x \). Пусть угол \( \angle BAD = 45^\circ \) — угол между боковой стороной \( AD \) и основанием \( AB \). ### Шаг 3: Определение положения точек Рассмотрим треугольник \( A D \) и наклон боковой стороны. - \( AD \) — боковая сторона, наклонена под углом \( 45^\circ \) к основанию \( AB \). - В вершинах \( A \) и \( D \) расположены точки, поэтому: Из свойства тангенса: \[ \tan 45^\circ = 1 = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилегающая сторона}} \] Легко заметить, что, если боковая сторона \( AD \) наклонена под \( 45^\circ \), то при использовании координат можно упростить расчёты. --- ### Шаг 4: Введение координат Поместим trapezoid на координатную ось: - \( A (0,0) \) - \( B (8,0) \) - \( D (x_D, h) \) - \( C (x_C, h) \) Так как \( AB = 8 \), то \( A(0,0) \), \( B(8,0) \). Поскольку трапеция равнобедренная и основание \( CD \), то: - \( D \) и \( C \) лежат на горизонтальной линии \( y = h \). - Вершины \( D \) и \( C \) имеют координаты: \[ D (x_D, h), \quad C (x_C, h) \] - Верхнее основание \( AB = 8 \), нижнее — \( CD = 2 \). Также, для равнобедренной трапеции: \[ x_C = x_D + 2 \] (так как \( C \) сдвинут на 2 вправо относительно \( D \), чтобы длинна основания \( CD = 2 \)). --- ### Шаг 5: Условие о угле \(45^\circ\) Угол между боковой стороной \( AD \) и основанием \( AB \) равен \(45^\circ\). Координаты точки \( D \): - \( A (0,0) \), - \( D (x_D, h) \). Касательная к \( AD \): \[ \tan \theta = \left| \frac{\Delta y}{\Delta x} \right| = 1 \] значит, \[ \left| \frac{h - 0}{x_D - 0} \right| = 1 \quad \Rightarrow \quad h = x_D \] То есть, высота \( h \) равна абсциссе \( x_D \). --- ### Шаг 6: Связь между \( x_D \) и \( x_C \) Поскольку \( C \) сдвинут на 2 вправо относительно \( D \): \[ x_C = x_D + 2 \] Высота \( h = x_D \). --- ### Шаг 7: Определение длины основания \( CD \) Длина \( CD \): \[ |x_C - x_D| = 2 \] Верно, так как \( x_C = x_D + 2 \). --- ### Шаг 8: Найти площадь трапеции Площадь \( S \): \[ S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h \] Подставим значения: \[ AB = 8, \quad CD = 2, \quad h = x_D \] Нам осталось найти \( x_D \), чтобы выразить \( h \). --- ### Шаг 9: Анализ боковой стороны \( AD \) Длина боковой стороны \( AD \): \[ AD = \sqrt{(x_D - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{x_D^2 + h^2} \] Но поскольку \( h = x_D \), то: \[ AD = \sqrt{x_D^2 + x_D^2} = \sqrt{2 x_D^2} = x_D \sqrt{2} \] --- ### Шаг 10: Проверка условий равнобедренности Обозначим боковые стороны: \[ AD = BC = x_D \sqrt{2} \] Также, стороны \( BC \) и \( D C \) должны быть равны, и \( BC \): \[ BC = \text{расстояние между } B(8, 0) \text{ и } C (x_C, h) \] Где \( x_C = x_D + 2 \), \( h = x_D \). Расстояние \( BC \): \[ BC = \sqrt{(x_C - 8)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{(x_D + 2 - 8)^2 + x_D^2} \] \[ = \sqrt{(x_D - 6)^2 + x_D^2} \] Равны ли эти боковые стороны? Им необходимо равенство: \[ x_D \sqrt{2} = \sqrt{(x_D - 6)^2 + x_D^2} \] Возьмём квадрат: \[ 2 x_D^2 = (x_D - 6)^2 + x_D^2 \] Раскроем скобки: \[ 2 x_D^2 = x_D^2 - 12 x_D + 36 + x_D^2 \] Сложим подобные: \[ 2 x_D^2 = 2 x_D^2 - 12 x_D + 36 \] Вычтем \( 2 x_D^2 \) с обеих сторон: \[ 0 = -12 x_D + 36 \] Отсюда: \[ 12 x_D = 36 \quad \Rightarrow \quad x_D = 3 \] Вышеприведённое показывает, что: - \( x_D = 3 \) - \( h = x_D = 3 \) --- ### Шаг 11: Итоговые параметры - Высота \( h = 3 \), - Основание \( AB = 8 \), - Основание \( CD = 2 \) (с координатами \( D(3, 3) \), \( C(5, 3) \)), - Проверка боковой стороны \( AD \): \[ AD = x_D \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} \approx 4.24 \] - Проверка боковой стороны \( BC \): \[ BC = \sqrt{(5 - 8)^2 + 3^2} = \sqrt{(-3)^2 + 9} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \] Совпадает, боковые стороны равны, условие выполнено. --- ### **Шаг 12: Вычисление площади** \[ S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h = \frac{(8 + 2)}{2} \times 3 = \frac{10}{2} \times 3 = 5 \times 3 = 15 \] --- ## Итог: **Площадь трапеции равна \(\boxed{15}\) единицам площади.**