Реши уравнение log↓0,1x X+log↓0, 2X=0

Давайте решим уравнение: \[ \log_{0{,}1} x + \log_{0{,}2} x = 0 \] Шаг 1. Вспомним свойства логарифмов: - \(\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)\) Чтобы объединить логарифмы, нужно привести их к общему основанию. Шаг 2. Объединение логарифмов: \[ \log_{0,1} x + \log_{0,2} x = \log_{0,1} x + \log_{0,2} x \] Но основание у логарифмов разное, поэтому попробуем выразить оба логарифма через один логарифмический показатель (например, через натуральный логариф \(\ln\)): используем формулу: \[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \] то есть: \[ \frac{\ln x}{\ln 0,1} + \frac{\ln x}{\ln 0,2} = 0 \] Шаг 3. Вычислим \(\ln 0,1\) и \(\ln 0,2\): - \(\ln 0,1 = \ln \frac{1}{10} = - \ln 10\), - \(\ln 0,2 = \ln \frac{1}{5} = - \ln 5\). Значения: \(\ln 10 \approx 2,3026\), \(\ln 5 \approx 1,6094\). Следовательно: \[ \ln 0,1 \approx -2,3026, \] \[ \ln 0,2 \approx -1,6094. \] Шаг 4. Подставим в уравнение: \[ \frac{\ln x}{-2,3026} + \frac{\ln x}{-1,6094} = 0 \] или, вынеся \(\ln x\) за скобки: \[ \ln x \left( \frac{1}{-2,3026} + \frac{1}{-1,6094} \right) = 0 \] Шаг 5. Посчитаем сумму: \[ \frac{1}{-2,3026} + \frac{1}{-1,6094} = - \left( \frac{1}{2,3026} + \frac{1}{1,6094} \right) \] Посчитаем отдельно: \[ \frac{1}{2,3026} \approx 0,4343, \] \[ \frac{1}{1,6094} \approx 0,6213, \] тогда сумма: \[ 0,4343 + 0,6213 = 1,0556, \] а с учетом минуса: \[ -1,0556. \] Шаг 6. Наше уравнение принимает вид: \[ \ln x \times (-1,0556) = 0 \] Следовательно, \[ \ln x = 0, \] так как любое число, умноженное на ноль, дает ноль. Шаг 7. Решение: \[ \ln x = 0 \Rightarrow x = e^{0} = 1. \] Шаг 8. Проверка условий: - Нужно убедиться, что \(x=1\) подходит для логарифмов: \[ \log_{0,1} 1, \quad \log_{0,2} 1, \] и оба логарифма определены при \(x=1\), поскольку: - Логарифм по основанию, равному 0, или 1, не определен, поскольку основания логарифмов должны быть больше 0 и не равны 1. Но у нас есть основания \(0,1\) и \(0,2\): - Основание \(0,1\) — это 0,1, что является допустимым основанием для логарифма, только если \(x > 0\). - Аналогично для \(0,2\). Однако, важный момент: логарифм с основанием, меньшим 1, является убывающей функцией, и её значения при \(x=1\): \[ \log_{0,1} 1 = 0, \] \[ \log_{0,2} 1 = 0. \] Таким образом, оба логарифма при \(x=1\) определены и равны нулю, их сумма будет 0, что соответствует нашему уравнению. **Ответ:** \(\boxed{x=1}\) Если нужно, могу дополнительно разъяснить свойства логарифмов с основаниями менее 1.