Вот
Данная задача связана с тригонометрическими функциями: тангенсом (tg) и котангенсом (ctg), а также со знанием неравенств и свойств этих функций.
Перепишем условие:
Известно, что
\( \tg \alpha = -\frac{3}{4} \) и \( \ctg \alpha < \alpha < -\frac{\pi}{2} \).
Найти значения трех других тригонометрических функций угла \( \alpha \).
Шаг 1. Анализ известного
Дано:
- \( \tg \alpha = -\frac{3}{4} \).
- \( \alpha \) находится между \( -\frac{\pi}{2} \) и каким-то числом, при этом \( \alpha > \ctg \alpha \).
Обратимся к свойствам:
- \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
- \( \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
Если \( \tg \alpha \) отрицательно, то \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) имеют разные знаки.
Шаг 2. Определение квадранта
Где в тригонометрии:
- \( \tg \alpha < 0 \), тогда \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) имеют разные знаки.
Из неравенства: \( -\frac{\pi}{2} < \alpha < \) — и дальше по условию.
Поскольку \( \alpha \) больше \( \ctg \alpha \), и \( \ctg \alpha \) — функция, связанная с \( \cos \alpha \) и \( \sin \alpha \), укажем, что \( \alpha \) находится во 2 или 4 квадранте, где \( \tg \alpha < 0 \):
- В 2 квадранте: \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \).
- В 4 квадранте: \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \).
Из неравенства \( \alpha > \ctg \alpha \) и знака \( \tg \alpha \) можно думая логически, что \( \alpha \) в 4 квадранте:
- в 4 квадранте: \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \tg \alpha < 0 \),
- и при этом, \( \ctg \alpha > 0 \).
Проверим: если \( \ctg \alpha > 0 \), то, поскольку \( \cos \alpha > 0 \), \( \sin \alpha < 0 \): \[ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} > 0, \] что верно, поскольку делим два числителя и делителя с разными знаками.
Также, \( \alpha > \ctg \alpha \).
Шаг 3. Найдём \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \)
Зная \( \tg \alpha = -\frac{3}{4} \), \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{3}{4}. \]
Обозначим \( \cos \alpha = x \), тогда \( \sin \alpha = -\frac{3}{4} x \) (потому что \( \sin \alpha \) отрицательно в 4 квадранте).
Используем основной тригонометрический тождество:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \] подставим \( \sin \alpha = -\frac{3}{4} x \):
\[ \left(-\frac{3}{4} x \right)^2 + x^2 = 1, \] \[ \frac{9}{16} x^2 + x^2 = 1, \] \[ \left( \frac{9}{16} + 1 \right) x^2 = 1, \] \[ \left( \frac{9}{16} + \frac{16}{16} \right) x^2 = 1, \] \[ \frac{25}{16} x^2 = 1, \] \[ x^2 = \frac{16}{25}, \] \[ x = \pm \frac{4}{5}. \]
Поскольку \( \cos \alpha > 0 \) в 4 квадранте:
\[ \cos \alpha = \frac{4}{5}. \]
Тогда \( \sin \alpha = - \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = -\frac{3}{5} \).
Шаг 4. Найдём остальные три функции
- \( \sin \alpha = -\frac{3}{5} \).
- \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \).
Рассчитаем:
- \( \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{5}{4} \).
- \( \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = -\frac{5}{3} \).
- \( \tg \alpha = -\frac{3}{4} \) (дано).
- \( \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \).
Итог:
\[ \boxed{ \begin{aligned} \sin \alpha &= -\frac{3}{5}, \\ \cos \alpha &= \frac{4}{5}, \\ \text{sec} \alpha &= \frac{5}{4}, \\ \text{csc} \alpha &= -\frac{5}{3}, \\ \tg \alpha &= -\frac{3}{4}, \\ \ctg \alpha &= -\frac{4}{3}. \end{aligned} } \]
Если нужно ещё что-то — обращайтесь!
