x2+y2+4x-8y+20=0

Давайте решим уравнение \(x^2 + y^2 + 4x - 8y + 20 = 0\) и разберёмся с ним по шагам.

Шаг 1. Запишем уравнение: \[ x^2 + y^2 + 4x - 8y + 20 = 0 \]

Шаг 2. Группируем по переменным: \[ (x^2 + 4x) + (y^2 - 8y) + 20 = 0 \]

Шаг 3. Вынесем квадратныеComple

Добавим к каждой группе полные квадратные выражения, чтобы получить формы квадрата. Для этого применим метод ** completing the square **.

Работа с выражением по x:

\[x^2 + 4x \] Добавим и вычтем число, чтобы получить полный квадрат: \[ x^2 + 4x + (2)^2 - (2)^2 = (x + 2)^2 - 4 \] (так как \((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \), и нужно вычесть 4, чтобы было равно исходному выражению).

Работа с выражением по y:

\[ y^2 - 8y \] Добавим и вычтем число: \[ y^2 - 8y + (4)^2 - (4)^2 = (y - 4)^2 - 16 \] (так как \((y - 4)^2 = y^2 - 8y + 16 \)).

Подставляем полученные выражения обратно:

\[ (x + 2)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 + 20 = 0 \]

Объединим константы: \[-4 - 16 + 20 = 0 \] \[-4 - 16 + 20 = 0 \]

Значит, уравнение упрощается до: \[ (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 0 \]

Это уравнение — уравнение окружности.

Шаг 4. Решение уравнения

Для суммы двух квадратов равной нулю, оба выражения должны равны нулю: \[ \begin{cases} (x + 2)^2 = 0 \\ (y - 4)^2 = 0 \end{cases} \]

Отсюда: \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \\ y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4 \]

Итог:

Единственная точка, которая удовлетворяет заданному уравнению — это точка \((-2, 4)\).

Если нужна дополнительная пояснение или график — скажите!