F(x) =1/1+x³

Рассмотрим функцию: \[ f(x) = \frac{1}{1 + x^3} \] Цель — понять её свойства, например, области определения, поведение на границах, особые точки и её график. --- ### Шаг 1: Область определения Функция задана дробью. Знаменатель никогда не равен нулю, если: \[ 1 + x^3 \neq 0 \] \[ x^3 \neq -1 \] \[ x \neq -1 \] **Значит, область определения:** \[ \boxed{(-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)} \] --- ### Шаг 2: Анализ на особые точки и асимптоты - **Точка разрыва:** в \(x = -1\), где знаменатель равен нулю, функция не определена. Проверим предельные значения: - При \(x \to -1^-\): \[ x^3 \to -1^-, \quad 1 + x^3 \to 0^- \] Тогда \[ f(x) = \frac{1}{маленькое отрицательное число} \to -\infty \] - При \(x \to -1^+\): \[ x^3 \to -1^+, \quad 1 + x^3 \to 0^+ \] Тогда \[ f(x) \to +\infty \] **Вывод:** в точке \(x = -1\) есть разрыв типа бесконечности: управляемое с одной стороны к \ху, с другой — к плюс или минус бесконечности. --- ### Шаг 3: Поведение функции при \(x \to \pm \infty\) - При очень больших положительных \(x \to +\infty\): \[ x^3 \to +\infty \] \[ f(x) \to 0^+ \] - При очень больших отрицательных \(x \to -\infty\): \[ x^3 \to -\infty \] \[ f(x) \to 0^- \] --- ### Шаг 4: Исследование функции - **Степень числителя и знаменателя** — числитель 1, знаменатель — куб \(x^3\). - **Монтоническое поведение:** найдём производную, чтобы понять, где функция возрастает или убывает. ### Шаг 5: Находим производную \(f'(x)\): \[ f(x) = \frac{1}{1 + x^3} \] Используем правило дифференцирования дроби или цепное правило: \[ f'(x) = -1 \times \frac{d}{dx}(1 + x^3)^{-1} \] \[ f'(x) = -(-1) \times (1 + x^3)^{-2} \times 3x^2 \] \[ f'(x) = \frac{3x^2}{(1 + x^3)^2} \] --- ### Шаг 6: Анализ производной: - **Знак \(f'(x)\):** \[ f'(x) = \frac{3x^2}{(1 + x^3)^2} \] — числитель \(3x^2 \geq 0\) для любого \(x\), а знаменатель \((1 + x^3)^2\) всегда положителен, кроме точки \(x=-1\), которая исключена из области. - Тогда: \[ f'(x) \geq 0 \] для всех \(x \neq -1\). - **Вывод:** функция всюду возрастает на своём промежутке (учитывая разрывы и области). --- ### Итоговое описание: - **Область определения:** \( (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) \) - **Поведение на границах:** - В точке \(x = -1\): \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty \] - **Ассимптоты:** нет горизонтальных, так как при \(x \to \pm \infty\) \(f(x) \to 0\). Имеется вертикальная асимптота в точке \(x = -1\). - **Монтоническое поведение:** функция возрастает на своих промежутках. --- Если нужно, я могу помочь построить график или найти точки экстремума — но по текущему анализу функция возрастает всюду, где определена, и у неё нет локальных максимумов или минимумов. Готов помочь с любыми дополнительными вопросами!