f(x) =1/1+x³
Рассмотрим функцию:
\[ f(x) = \frac{1}{1 + x^3} \]
Цель — понять её свойства, например, области определения, поведение на границах, особые точки и её график.
Шаг 1: Область определения
Функция задана дробью. Знаменатель никогда не равен нулю, если:
\[ 1 + x^3 \neq 0 \] \[ x^3 \neq -1 \] \[ x \neq -1 \]
Значит, область определения:
\[ \boxed{(-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)} \]
Шаг 2: Анализ на особые точки и асимптоты
Точка разрыва: в \(x = -1\), где знаменатель равен нулю, функция не определена. Проверим предельные значения:
При \(x \to -1^-\):
\[ x^3 \to -1^-, \quad 1 + x^3 \to 0^- \] Тогда
\[ f(x) = \frac{1}{маленькое отрицательное число} \to -\infty \]
При \(x \to -1^+\):
\[ x^3 \to -1^+, \quad 1 + x^3 \to 0^+ \] Тогда
\[ f(x) \to +\infty \]
Вывод: в точке \(x = -1\) есть разрыв типа бесконечности: управляемое с одной стороны к \ху, с другой — к плюс или минус бесконечности.
Шаг 3: Поведение функции при \(x \to \pm \infty\)
При очень больших положительных \(x \to +\infty\):
\[ x^3 \to +\infty \] \[ f(x) \to 0^+ \]
При очень больших отрицательных \(x \to -\infty\):
\[ x^3 \to -\infty \] \[ f(x) \to 0^- \]
Шаг 4: Исследование функции
Степень числителя и знаменателя — числитель 1, знаменатель — куб \(x^3\).
Монтоническое поведение: найдём производную, чтобы понять, где функция возрастает или убывает.
Шаг 5: Находим производную \(f'(x)\):
\[ f(x) = \frac{1}{1 + x^3} \]
Используем правило дифференцирования дроби или цепное правило:
\[ f'(x) = -1 \times \frac{d}{dx}(1 + x^3)^{-1} \] \[ f'(x) = -(-1) \times (1 + x^3)^{-2} \times 3x^2 \] \[ f'(x) = \frac{3x^2}{(1 + x^3)^2} \]
Шаг 6: Анализ производной:
Знак \(f'(x)\):
\[ f'(x) = \frac{3x^2}{(1 + x^3)^2} \]
— числитель \(3x^2 \geq 0\) для любого \(x\), а знаменатель \((1 + x^3)^2\) всегда положителен, кроме точки \(x=-1\), которая исключена из области.
Тогда:
\[ f'(x) \geq 0 \] для всех \(x \neq -1\).
Вывод: функция всюду возрастает на своём промежутке (учитывая разрывы и области).
Итоговое описание:
Область определения: \( (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) \)
Поведение на границах:
В точке \(x = -1\):
\[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty \]
Ассимптоты: нет горизонтальных, так как при \(x \to \pm \infty\) \(f(x) \to 0\). Имеется вертикальная асимптота в точке \(x = -1\).
Монтоническое поведение: функция возрастает на своих промежутках.
Если нужно, я могу помочь построить график или найти точки экстремума — но по текущему анализу функция возрастает всюду, где определена, и у неё нет локальных максимумов или минимумов.
Готов помочь с любыми дополнительными вопросами!
