Давайте разберём задачу подробно, чтобы понять, как найти кинетическую энергию тела в заданный момент времени.
Дано:
- Масса тела: ( m = 200, \text{г} = 0{,}2, \text{кг} ) (переводим граммы в килограммы — в системах СИ масса выражается в килограммах)
- Закон движения: ( x(t) = 13 - 2{,}5 t^2 - 4 t ) (в метрах, по условию)
- Время: ( t = 2,0, \text{с} )
Что нужно найти:
- Кинетическую энергию тела ( E_k ) в момент ( t = 2, \text{с} ).
Шаг 1: Найти скорость тела ( v(t) )
Кинетическая энергия зависит от скорости:
[
E_k = \frac{1}{2} m v^2
]
Чтобы вычислить ( E_k ) в конкретный момент времени, нужно знать скорость ( v(t) ).
Скорость — это первая производная позиций по времени:
[
v(t) = \frac{dx}{dt}
]
Шаг 2: Найти выражение для скорости ( v(t) )
Взять производную функции ( x(t) = 13 - 2{,}5 t^2 - 4 t ):
[
v(t) = \frac{d}{dt} (13 - 2{,}5 t^2 - 4 t) = 0 - 2{,}5 \cdot 2 t - 4
]
[
v(t) = - 5 t - 4
]
Шаг 3: Подставить ( t = 2, \text{с} )
[
v(2) = -5 \times 2 - 4 = -10 - 4 = -14, \text{м/с}
]
Обратите внимание, что знак отрицателен, что означает движение в обратном направлении, но для энергии важна величина скорости (квадрат), поэтому знак можно игнорировать.
Шаг 4: Вычислить кинетическую энергию
[
E_k = \frac{1}{2} m v^2
]
Подставим значения:
[
E_k = \frac{1}{2} \times 0{,}2, \text{кг} \times (-14, \text{м/с})^2
]
[
E_k = 0{,}1 \times 196 = 19{,}6, \text{джоулей}
]
Ответ:
Кинетическая энергия тела в момент ( t = 2, \text{s} ) равна (\boxed{19,6, \text{джоулей}}).
