Четырёхугольник ABCD периметр которого равен 54 вписана окружность AB = 18 найдите длину стороны CD
Давайте подробно разберёмся с задачей.
Дано:
- Четырёхугольник \(ABCD\), в который вписана окружность.
- Периметр \(P = 54\).
- Длина стороны \(AB = 18\).
Требуется найти длину стороны \(CD\).
Шаг 1: Свойство вписанной окружности (тигонометрическая схема)
Если четырёхугольник вписывает окружность, то сумма длин противоположных сторон равна.
То есть: \[ AB + CD = BC + DA \]
Обозначим стороны: \[ AB = a,\quad BC = b,\quad CD = c,\quad DA = d \]
Из условий: \[ a = 18 \] и \[ a + c = b + d \]
Шаг 2: Запишем периметр
Общий периметр: \[ a + b + c + d = 54 \]
Подставим \(a = 18\):
\[ 18 + b + c + d = 54 \] или \[ b + c + d = 36 \]
Из свойства вписанной окружности: \[ a + c = b + d \]
Подставим \(a = 18\):
\[ 18 + c = b + d \]
Из этого выражения выразим \(b + d\):
\[ b + d = 18 + c \]
Шаг 3: Используем полученные уравнения
Из уравнения для суммы сторон:
\[ b + c + d = 36 \]
Подставим \(b + d = 18 + c\):
\[ (18 + c) + c = 36 \]
Получим:
\[ 18 + c + c = 36 \] \[ 18 + 2c = 36 \]
Решим это уравнение:
\[ 2c = 36 - 18 \] \[ 2c = 18 \] \[ c = 9 \]
Итого, длина стороны \(CD = c = 9\).
Ответ:
Длина стороны \(CD\) равна 9.
Если потребуется дополнительное объяснение или помочь с другими задачами — обращайтесь!
