Построй график функции y = x ∣ x ∣ + 2 ∣ x ∣ − 2 x y=x∣x∣+2∣x∣−2x . Определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m…
Построй график функции y = x ∣ x ∣ + 2 ∣ x ∣ − 2 x y=x∣x∣+2∣x∣−2x. Определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Давайте пошагово разберём задачу:
Шаг 1: Анализ функции
Нам дана функция:
\[ y = x|x| + 2|x| - 2x \]
Обратите внимание, что эта функция включает абсолютные значения. Рассмотрим её поведение для двух случаев: \(x \geq 0\) и \(x < 0\).
Шаг 2: Разбор на два случая
Случай 1: \(x \geq 0\)
- \(|x| = x\)
- Тогда функция принимает вид:
\[ \begin{aligned} y &= x \cdot x + 2 \cdot x - 2x \\ &= x^2 + 2x - 2x \\ &= x^2 \end{aligned} \]
Итак, для \(x \geq 0\):
\[ \boxed{ y = x^2 } \]
Случай 2: \(x < 0\)
- \(|x| = -x\) (так как \(x < 0\))
- Тогда:
\[ \begin{aligned} y &= x \cdot (-x) + 2 \cdot (-x) - 2x \\ &= -x^2 - 2x - 2x \\ &= -x^2 - 4x \end{aligned} \]
Итак, для \(x < 0\):
\[ \boxed{ y = -x^2 - 4x } \]
Шаг 3: Построение графика функции
График функции — это две ветви:
Для \(x \geq 0\): парабола \(y = x^2\)
Для \(x < 0\): парабола \(y = -x^2 - 4x\)
Шаг 4: Анализ прямой \(y = m\)
Нам нужно найти такие значения \(m\), что прямая \(y=m\) касается графика ровно в двух точках. Это значит, что для каждого \(m\) уравнения
\[ \text{(для } x \geq 0):\quad x^2 = m \]
и
\[ \text{(для } x < 0):\quad -x^2 - 4x = m \]
должно иметь ровно два решения (по одному для каждой ветви), или, в случае одинаковых решений — именно два разных.
Шаг 5: Решения уравнений для каждого случая
1. Для \(x \geq 0\):
\[ x^2 = m \]
- Если \(m \geq 0\), то решения:
\[ x = \pm \sqrt{m} \]
Но так как ветка для \(x \geq 0\), то допустимо только:
\[ x = \sqrt{m} \geq 0 \]
- Если \(m < 0\), решений нет.
Итого:
- Для \(m \geq 0\): одно решение на ветке: \(x = \sqrt{m}\)
2. Для \(x < 0\):
\[ -x^2 - 4x = m \]
или, приводя к стандартной форме:
\[ x^2 + 4x + m = 0 \]
Квадратное уравнение:
\[ x^2 + 4x + m = 0 \]
Решения:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} = -2 \pm \sqrt{4 - m} \]
Чтобы эти решения соответствовали ветке \(x < 0\):
- Оба решения \(x\) должны быть
< 0, или хотя бы одно.
Рассмотрим каждое:
\(x_1 = -2 + \sqrt{4 - m}\)
\(x_2 = -2 - \sqrt{4 - m}\)
Шаг 6: Условие для решений
Для реальных решений внутри уравнения нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:
\[ 16 - 4m \geq 0 \implies m \leq 4 \]
Также:
\(x_2 = -2 - \sqrt{4 - m}\):
- так как \(\sqrt{4 - m} \geq 0\), то
\[ x_2 \leq -2 \]
— всегда отрицательное, так как \(-2 - \text{что-то неотрицательное} \leq -2\), значит \(x_2 < 0\).
\(x_1 = -2 + \sqrt{4 - m}\):
- это значение может быть отрицательным или равно нулю:
\[ x_1 \leq 0 \quad \text{при} \quad \sqrt{4 - m} \leq 2 \]
- Примечание: \(\sqrt{4 - m} \leq 2 \implies 4 - m \leq 4 \implies m \geq 0\)
Шаг 7: Анализ для ровно двух точек пересечения
При вычислении точек пересечения:
- На ветке \(x \geq 0\): решение существует только при \(m \geq 0\):
\[ x = \sqrt{m} \]
- На ветке \(x < 0\): решения при \(0 \leq m \leq 4\):
\[ x = -2 \pm \sqrt{4 - m} \]
Шаг 8: Обязательное условие — ровно две точки пересечения
Это может произойти двумя способами:
Только одна точка пересечения на каждой ветке — всего 2 точки.
Именно два пересечения всего: например, на ветке для \(x \geq 0\) — одно пересечение, а на ветке для \(x < 0\) — одно.
Шаг 9: Анализ вариантов
Вариант A: пересечения в обеих ветках
Только при \(m \geq 0\), есть решение на ветке \(x \geq 0\): \(x = \sqrt{m}\),
На ветке \(x<0\):
- есть два решения при \(0 \leq m \leq 4\):
\[ x = -2 \pm \sqrt{4 - m} \]
- Для получения ровно двух пересечений, должно быть ровно по одному решению в каждой ветке.
Это возможно, если:
На ветке \(x \geq 0\): есть ровно одно решение \(x = \sqrt{m}\).
На ветке \(x<0\): есть ровно одно решение — это условие для двойного корня.
Вариант B: двойной корень на одной из веток и один — на другой
Для ветки \(x \geq 0\): всегда 1 решение при \(m \geq 0\).
Для ветки \(x<0\): 2 решения при \(0 \leq m \leq 4\).
Чтобы всего пересечений было 2, требуется, чтобы:
- В ветке \(x<0\): было ровно 1 решение, то есть дискриминант равен 0:
\[ 16 - 4m = 0 \Rightarrow m = 4 \]
- А на ветке \(x \geq 0\): есть решение при \(m=4\):
\[ x = \sqrt{4} = 2 \geq 0 \]
Проверим:
Для \(m=4\):
Ветке \(x\geq 0\): точка пересечения: \(x=2\).
Ветке \(x < 0\): решения:
\[ x = -2 \pm 0 = -2 \]
Получаем две разные точки: \(x=2\) и \(x=-2\).
Это ровно две точки пересечения.
Ответ:
Значение \(m=4\) даёт ровно два пересечения.
Проверка других вариантов:
При \(m=0\):
Ветке \(x \geq 0\): \(x=0\).
Ветке \(x<0\):
\[ x= -2 \pm \sqrt{4-0} = -2 \pm 2 \]
- Значения: \(x=0\) и \(x=-4\).
— две точки, но одна из них совпадает с изначальной точкой (0). Проверим: на ветке \(x \geq 0\): \(x=0\); на ветке \(x<0\): \(x=-4\). В итоге 2 точки.
Это соответствует условию, так как \(x=0\) — точка пересечения обеих веток в одной точке, а второе — \(x=-4\).
- Итог: при \(m=0\) — тоже 2 точки.
Проверим, что с этим пересечением:
- Для \(x\geq 0\):
\[ x=0 \]
- Для \(x<0\):
\[ x=-2 \pm \sqrt{4 - 0} = -2 \pm 2 \]
- Решения: \(x=0\) и \(x=-4\). Одно из них — в ветке \(x<0\): \(x=-4\). Другой — в ветке \(x \geq 0\): \(x=0\).
Так, получается, что при \(m=0\), тоже ровно 2 точки.
Итог: значениями \(m\), при которых получаем ровно 2 пересечения, являются:
\(m=0\)
\(m=4\)
Ответ:
0м4
Если нужно, я могу дополнительно объяснить детали или проверить другие гипотезы.
