Построй график функции  y = x ∣ x ∣ + 2 ∣ x ∣ − 2 x y=x∣x∣+2∣x∣−2x. Определи, при каких значениях  m m прямая  y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений  m m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Давайте пошагово разберём задачу: --- ## Шаг 1: Анализ функции Нам дана функция: \[ y = x|x| + 2|x| - 2x \] Обратите внимание, что эта функция включает абсолютные значения. Рассмотрим её поведение для двух случаев: \(x \geq 0\) и \(x < 0\). --- ## Шаг 2: Разбор на два случая ### **Случай 1: \(x \geq 0\)** - \(|x| = x\) - Тогда функция принимает вид: \[ \begin{aligned} y &= x \cdot x + 2 \cdot x - 2x \\ &= x^2 + 2x - 2x \\ &= x^2 \end{aligned} \] Итак, для \(x \geq 0\): \[ \boxed{ y = x^2 } \] --- ### **Случай 2: \(x < 0\)** - \(|x| = -x\) (так как \(x < 0\)) - Тогда: \[ \begin{aligned} y &= x \cdot (-x) + 2 \cdot (-x) - 2x \\ &= -x^2 - 2x - 2x \\ &= -x^2 - 4x \end{aligned} \] Итак, для \(x < 0\): \[ \boxed{ y = -x^2 - 4x } \] --- ## Шаг 3: Построение графика функции График функции — это две ветви: - **Для \(x \geq 0\):** парабола \(y = x^2\) - **Для \(x < 0\):** парабола \(y = -x^2 - 4x\) --- ## Шаг 4: Анализ прямой \(y = m\) Нам нужно найти такие значения \(m\), что прямая \(y=m\) касается графика ровно в двух точках. Это значит, что для каждого \(m\) уравнения \[ \text{(для } x \geq 0):\quad x^2 = m \] и \[ \text{(для } x < 0):\quad -x^2 - 4x = m \] должно иметь ровно два решения (по одному для каждой ветви), или, в случае одинаковых решений — именно два разных. --- ## Шаг 5: Решения уравнений для каждого случая ### 1. Для \(x \geq 0\): \[ x^2 = m \] - Если \(m \geq 0\), то решения: \[ x = \pm \sqrt{m} \] Но так как ветка для \(x \geq 0\), то допустимо только: \[ x = \sqrt{m} \geq 0 \] - Если \(m < 0\), решений нет. **Итого:** - Для \(m \geq 0\): одно решение на ветке: \(x = \sqrt{m}\) --- ### 2. Для \(x < 0\): \[ -x^2 - 4x = m \] или, приводя к стандартной форме: \[ x^2 + 4x + m = 0 \] Квадратное уравнение: \[ x^2 + 4x + m = 0 \] Решения: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} = -2 \pm \sqrt{4 - m} \] Чтобы эти решения соответствовали ветке \(x < 0\): - Оба решения \(x\) должны быть `< 0`, или хотя бы одно. Рассмотрим каждое: - \(x_1 = -2 + \sqrt{4 - m}\) - \(x_2 = -2 - \sqrt{4 - m}\) --- ## Шаг 6: Условие для решений Для реальных решений внутри уравнения нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен: \[ 16 - 4m \geq 0 \implies m \leq 4 \] Также: - \(x_2 = -2 - \sqrt{4 - m}\): - так как \(\sqrt{4 - m} \geq 0\), то \[ x_2 \leq -2 \] — всегда отрицательное, так как \(-2 - \text{что-то неотрицательное} \leq -2\), значит \(x_2 < 0\). - \(x_1 = -2 + \sqrt{4 - m}\): - это значение может быть отрицательным или равно нулю: \[ x_1 \leq 0 \quad \text{при} \quad \sqrt{4 - m} \leq 2 \] - Примечание: \(\sqrt{4 - m} \leq 2 \implies 4 - m \leq 4 \implies m \geq 0\) --- ## Шаг 7: Анализ для ровно двух точек пересечения При вычислении точек пересечения: - На ветке \(x \geq 0\): решение существует только при \(m \geq 0\): \[ x = \sqrt{m} \] - На ветке \(x < 0\): решения при \(0 \leq m \leq 4\): \[ x = -2 \pm \sqrt{4 - m} \] --- ## Шаг 8: Обязательное условие — ровно две точки пересечения Это может произойти двумя способами: 1. **Только одна точка** пересечения на каждой ветке — всего 2 точки. 2. **Именно два пересечения всего**: например, на ветке для \(x \geq 0\) — одно пересечение, а на ветке для \(x < 0\) — одно. --- ## Шаг 9: Анализ вариантов ### Вариант A: пересечения в обеих ветках - Только при \(m \geq 0\), есть решение на ветке \(x \geq 0\): \(x = \sqrt{m}\), - На ветке \(x<0\): - есть два решения при \(0 \leq m \leq 4\): \[ x = -2 \pm \sqrt{4 - m} \] - Для получения ровно двух пересечений, должно быть ровно по одному решению в каждой ветке. Это возможно, если: - На ветке \(x \geq 0\): есть ровно одно решение \(x = \sqrt{m}\). - На ветке \(x<0\): есть ровно одно решение — это условие для двойного корня. --- ### Вариант B: двойной корень на одной из веток и один — на другой - Для ветки \(x \geq 0\): всегда 1 решение при \(m \geq 0\). - Для ветки \(x<0\): 2 решения при \(0 \leq m \leq 4\). Чтобы всего пересечений было 2, требуется, чтобы: - В ветке \(x<0\): было ровно 1 решение, то есть дискриминант равен 0: \[ 16 - 4m = 0 \Rightarrow m = 4 \] - А на ветке \(x \geq 0\): есть решение при \(m=4\): \[ x = \sqrt{4} = 2 \geq 0 \] Проверим: - Для \(m=4\): - Ветке \(x\geq 0\): точка пересечения: \(x=2\). - Ветке \(x < 0\): решения: \[ x = -2 \pm 0 = -2 \] Получаем две разные точки: \(x=2\) и \(x=-2\). Это ровно две точки пересечения. --- ## **Ответ:** Значение \(m=4\) даёт ровно два пересечения. --- ## **Проверка других вариантов:** - При \(m=0\): - Ветке \(x \geq 0\): \(x=0\). - Ветке \(x<0\): \[ x= -2 \pm \sqrt{4-0} = -2 \pm 2 \] - Значения: \(x=0\) и \(x=-4\). — две точки, но одна из них совпадает с изначальной точкой (0). Проверим: на ветке \(x \geq 0\): \(x=0\); на ветке \(x<0\): \(x=-4\). В итоге 2 точки. Это соответствует условию, так как \(x=0\) — точка пересечения обеих веток в одной точке, а второе — \(x=-4\). - Итог: при \(m=0\) — тоже 2 точки. Проверим, что с этим пересечением: - Для \(x\geq 0\): \[ x=0 \] - Для \(x<0\): \[ x=-2 \pm \sqrt{4 - 0} = -2 \pm 2 \] - Решения: \(x=0\) и \(x=-4\). Одно из них — в ветке \(x<0\): \(x=-4\). Другой — в ветке \(x \geq 0\): \(x=0\). Так, получается, что при \(m=0\), тоже ровно 2 точки. --- ## Итог: значениями \(m\), при которых получаем ровно 2 пересечения, являются: - \(m=0\) - \(m=4\) --- ## **Ответ:** **0м4** --- Если нужно, я могу дополнительно объяснить детали или проверить другие гипотезы.