реши
Конечно, вот решения задач из рисунка в порядке их номеров:
746. Используя выделение квадрата двучлена:
а) Докажите, что минимальное значение выражения \(x^2 - 8x + 27\) равно числу 11.
Рассмотрим выражение: \(x^2 - 8x + 27\)
- Приведем к квадратному виду через выделение полного квадрата:
\[ x^2 - 8x + 27 = (x^2 - 8x + 16) + 11 = (x - 4)^2 + 11 \]
Так как квадратное выражение \((x - 4)^2\) всегда неотрицательно, его минимальное значение равно 0 при \(x = 4\).
Следовательно, минимальное значение исходного выражения равно \(0 + 11 = 11\).
б) Найдите минимальное значение выражения \(a^2 - 4a + 20\):
- Аналогично, выделим квадрат:
\[ a^2 - 4a + 20 = (a^2 - 4a + 4) + 16 = (a - 2)^2 + 16 \]
Минимум достигается при \(a = 2\).
Минимальное значение равно: \((2 - 2)^2 + 16 = 0 + 16 = 16\).
747. Решите уравнения:
а) \(4x^2 + 7x + 3 = 0\)
Дискриминант: \(D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1\)
Решения:
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 \pm 1}{8} \]
\(x_1 = \frac{-7 + 1}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\)
\(x_2 = \frac{-7 - 1}{8} = \frac{-8}{8} = -1\)
б) \(x^2 - x - 56 = 0\)
Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225\)
Решения:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{1 \pm 15}{2} \]
\(x_1 = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
\(x_2 = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7\)
в) \(x - x^2 = 56\)
Перепишем как: \(-x^2 + x - 56= 0\)
или: \(x^2 - x + 56 = 0\)
Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 1 - 224 = -223\)
Так как дискриминант отрицателен, решений нет.
г) \(5x^2 - 18x + 16 = 0\)
Дискриминант: \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 - 320 = 4\)
Решения:
\[ x = \frac{18 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 \pm 2}{10} \]
\(x_1 = \frac{20}{10} = 2\)
\(x_2 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}\)
748. При каких значениях \(x\) верно равенство:
а) \((5x + 3)^2 = 5(x + 3)\)
Раскроем квадраты:
\[ (5x + 3)^2 = 25x^2 + 30x + 9 \]
=\(5x + 15\)
Пусть:
\[ 25x^2 + 30x + 9 = 5x + 15 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 25x^2 + 30x + 9 - 5x - 15 = 0 \]
\[ 25x^2 + 25x - 6 = 0 \]
Делим на 25:
\[ x^2 + x - \frac{6}{25} = 0 \]
Дискриминант:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{6}{25}\right) = 1 + \frac{24}{25} = \frac{25}{25} + \frac{24}{25} = \frac{49}{25} \]
Корни:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{\frac{49}{25}}}{2} = \frac{-1 \pm \frac{7}{5}}{2} \]
- Первый:
\[ x = \frac{-1 + \frac{7}{5}}{2} = \frac{\frac{-5}{5} + \frac{7}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \]
- Второй:
\[ x= \frac{-1 - \frac{7}{5}}{2} = \frac{\frac{-5}{5} - \frac{7}{5}}{2} = \frac{-\frac{12}{5}}{2} = -\frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{6}{5} \]
Ответ: \(x = \frac{1}{5}\) или \(x = -\frac{6}{5}\).
б) \((5x + 3)^2 = (3x + 5)^2\)
Раскроем:
\[ (5x + 3)^2 = (3x + 5)^2 \]
\[ 25x^2 + 30x + 9 = 9x^2 + 30x + 25 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 25x^2 - 9x^2 + 30x - 30x + 9 - 25= 0 \]
\[ 16x^2 - 16 = 0 \]
\[ 16x^2 = 16 \]
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]
Ответ: \(x = 1\) или \(x = -1\).
Если нужно продолжение оставшихся задач — скажите!
