В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 3 см. Известно, что сумма катетов равна 23 см. Найдите AB . Найдите площадь треугольника ABC.

Давайте разберём задачу пошагово и подробно, чтобы понять все её аспекты. ### Дано: - Треугольник \( ABC \), прямой угол в \( C \) (то есть \( \angle C = 90^\circ \)) - Вписанная окружность радиуса \( r = 3 \) см - Сумма катетов: \( AC + BC = 23 \) см - Неизвестное: гипотенуза \( AB \) - Нужно найти: \( AB \) и площадь треугольника \( ABC \) --- ## Шаг 1. Описание элементов треугольника Пусть: - \( AC = x \) (первый катет), - \( BC = y \) (второй катет), - \( AB = c \) (гипотенуза). Из условия: \[ x + y = 23 \] Поскольку \( ABC \) прямоугольный, по теореме Пифагора: \[ c^2 = x^2 + y^2 \] --- ## Шаг 2. Связь между радиусом вписанной окружности и сторонами Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности \( r \) связан со сторонами формулой: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \( a, b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза. Или проще — для прямого треугольника: \[ r = \frac{x + y - c}{2} \] Из условия \( r = 3 \) см: \[ 3 = \frac{x + y - c}{2} \] Отсюда: \[ x + y - c = 6 \] Но из условия \( x + y = 23 \), следовательно: \[ 23 - c = 6 \implies c = 17 \] **Ответ: гипотенуза \( AB = c = 17 \) см.** --- ## Шаг 3. Проверка и нахождение катетов Теперь у нас есть: - \( c = 17 \), - \( x + y = 23 \), - Также по теореме Пифагора: \[ x^2 + y^2 = c^2 = 17^2 = 289 \] и: \[ x + y = 23 \] Находим \( x \) и \( y \). ### Решение системы: \[ \begin{cases} x + y = 23 \\ x^2 + y^2 = 289 \end{cases} \] Выразим \( y \) через \( x \): \[ y = 23 - x \] Подставляем в уравнение Пифагора: \[ x^2 + (23 - x)^2 = 289 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (23^2 - 2 \cdot 23 \cdot x + x^2) = 289 \] \[ x^2 + 529 - 46x + x^2 = 289 \] Объединим подобные: \[ 2x^2 - 46x + 529 = 289 \] Перенесем 289 в левую сторону: \[ 2x^2 - 46x + 529 - 289 = 0 \] \[ 2x^2 - 46x + 240 = 0 \] Разделим уравнение на 2: \[ x^2 - 23x + 120 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ x^2 - 23x + 120 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \] Корни: \[ x = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{23 \pm 7}{2} \] Получаем два значения: - \( x = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) - \( x = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) Тогда соответствующие \( y \): - Если \( x=15 \), то \( y=23 - 15=8 \), - Если \( x=8 \), то \( y=23 -8=15 \). Итак, катеты равны 8 и 15 (или наоборот). --- ## Шаг 4. Площадь треугольника Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times x \times y \] Подставим значения \( x=8 \), \( y=15 \): \[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60 \text{ см}^2 \] --- ## Итоговые ответы: - **Гипотенуза:** \( \boxed{17 \text{ см}} \) - **Площадь треугольника:** \( \boxed{60 \text{ см}^2} \) Если нужно, я могу помочь и с дополнительным объяснением.