В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 3 см. Известно, что сумма катетов равна 23 см. Найдите AB . Найдите площадь треугольника ABC.
Давайте разберём задачу пошагово и подробно, чтобы понять все её аспекты.
Дано:
- Треугольник \( ABC \), прямой угол в \( C \) (то есть \( \angle C = 90^\circ \))
- Вписанная окружность радиуса \( r = 3 \) см
- Сумма катетов: \( AC + BC = 23 \) см
- Неизвестное: гипотенуза \( AB \)
- Нужно найти: \( AB \) и площадь треугольника \( ABC \)
Шаг 1. Описание элементов треугольника
Пусть:
- \( AC = x \) (первый катет),
- \( BC = y \) (второй катет),
- \( AB = c \) (гипотенуза).
Из условия: \[ x + y = 23 \]
Поскольку \( ABC \) прямоугольный, по теореме Пифагора: \[ c^2 = x^2 + y^2 \]
Шаг 2. Связь между радиусом вписанной окружности и сторонами
Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности \( r \) связан со сторонами формулой:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
где \( a, b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.
Или проще — для прямого треугольника:
\[ r = \frac{x + y - c}{2} \]
Из условия \( r = 3 \) см:
\[ 3 = \frac{x + y - c}{2} \]
Отсюда:
\[ x + y - c = 6 \]
Но из условия \( x + y = 23 \), следовательно:
\[ 23 - c = 6 \implies c = 17 \]
Ответ: гипотенуза \( AB = c = 17 \) см.
Шаг 3. Проверка и нахождение катетов
Теперь у нас есть:
- \( c = 17 \),
- \( x + y = 23 \),
- Также по теореме Пифагора:
\[ x^2 + y^2 = c^2 = 17^2 = 289 \]
и:
\[ x + y = 23 \]
Находим \( x \) и \( y \).
Решение системы:
\[ \begin{cases} x + y = 23 \\ x^2 + y^2 = 289 \end{cases} \]
Выразим \( y \) через \( x \): \[ y = 23 - x \]
Подставляем в уравнение Пифагора: \[ x^2 + (23 - x)^2 = 289 \]
Раскроем скобки: \[ x^2 + (23^2 - 2 \cdot 23 \cdot x + x^2) = 289 \] \[ x^2 + 529 - 46x + x^2 = 289 \]
Объединим подобные: \[ 2x^2 - 46x + 529 = 289 \]
Перенесем 289 в левую сторону: \[ 2x^2 - 46x + 529 - 289 = 0 \] \[ 2x^2 - 46x + 240 = 0 \]
Разделим уравнение на 2: \[ x^2 - 23x + 120 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение: \[ x^2 - 23x + 120 = 0 \]
Дискриминант: \[ D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \]
Корни: \[ x = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{23 \pm 7}{2} \]
Получаем два значения:
- \( x = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
- \( x = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
Тогда соответствующие \( y \):
- Если \( x=15 \), то \( y=23 - 15=8 \),
- Если \( x=8 \), то \( y=23 -8=15 \).
Итак, катеты равны 8 и 15 (или наоборот).
Шаг 4. Площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times x \times y \] Подставим значения \( x=8 \), \( y=15 \): \[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60 \text{ см}^2 \]
Итоговые ответы:
- Гипотенуза: \( \boxed{17 \text{ см}} \)
- Площадь треугольника: \( \boxed{60 \text{ см}^2} \)
Если нужно, я могу помочь и с дополнительным объяснением.
