5. Поезд движется по закруглению радиусом R = 300 м со скоростью, модуль которой v= 50км/ч , при расстоянии между рельсами l= 1,5 м. Давление на боковую поверхность рельсов…
5. Поезд движется по закруглению радиусом R = 300 м со скоростью, модуль которой v= 50км/ч , при расстоянии между рельсами l= 1,5 м. Давление на боковую поверхность рельсов отсутствует. Найдите высоту h, на которую наружный рельс следует приподнять по отношению к внутреннему, чтобы давление на рельсы было одинаковым.
Давайте разберем задачу пошагово и подробно.
Задача: Поезд движется по кривой радиусом R = 300 м со скоростью v = 50 км/ч. Расстояние между рельсами l = 1,5 м. Нужно найти высоту h, на которую наружный рельс следует приподнять относительно внутреннего, чтобы давление на оба рельса было одинаковым, учитывая, что давление на боковые поверхности отсутствует.
Шаг 1: Перевод скоростных единиц
Сначала переведем скорость из км/ч в м/с, так как остальные параметры — в метрах:
\[ v = 50\, \text{км/ч} = 50 \times \frac{1000\, \text{м}}{3600\, \text{с}} \approx 13.89\, \text{м/с} \]
Шаг 2: Определение центробежной силы
Когда поезд движется по кривой радиуса R, на него действует центробежная сила:
\[ F_c = \frac{m v^2}{R} \]
где:
- \(m\) — масса поезда,
- \(v\) — скорость,
- \(R=300\,м\).
Эта сила создаёт давление на рельсы, преимущественно на внешний — её можно связать с нагрузкой по оси.
Шаг 3: Анализ давления на рельсы в исходных условиях
При движении по горизонтальной поверхности без подъема рельса (h=0), на внутренний и внешний рельсы действует разная нагрузка:
- Внутренний рельс получает меньшую силу,
- Внешний — большую.
Чтобы компенсировать это и сделать давление равным, поднимают наружный рельс на высоту h.
Шаг 4: Взаимосвязь давления и высоты поднятия рельса
Предположим, что давление на рельсы зависит от реакции, вызванной центробежной силой. Приподнимая внешний рельс на высоту h, меняется угол наклона, и часть нагрузки смещается:
- Внутренний рельс "несет" меньшую нагрузку,
- Наружный — большую.
Для уравновешивания давления можно применить принцип равенства реакций.
Шаг 5: Формулирование условия равенства давления
Поднимая наружный рельс на h, мы создаем наклон, который компенсирует разницу в нагрузке за счет изменения реакции на рельсы.
Из геометрии, при подъеме наружного рельса на высоту h, угол наклона \(\theta\) связан с высотой:
\[ \tan \theta \approx \frac{h}{l} \]
Соответственно, если мы предполагаем, что давление пропорционально компоненты реакции, то для равенства нагрузок необходимо связать высоту h с центробежной силой.
Шаг 6: Использование формулы для компенсации давления
Если принять во внимание, что для небольшой высоты подъема:
\[ h \approx \frac{l \times F_c}{2 m g} \]
где:
- \(l = 1.5\,м\),
- \(F_c = m v^2 / R\),
- \(g = 9.8\,м/с^2\).
Выдержим массу \(m\), она сократится, так как она есть в числителе и в знаменателе.
Подставим \(F_c\):
\[ h \approx \frac{l \times v^2}{2 g R} \]
существенно, так как массу сокращим.
Шаг 7: Подставим числовые значения
Теперь рассчитаем:
\[ h = \frac{1.5 \times (13.89)^2}{2 \times 9.8 \times 300} \]
Вычислим числитель:
\[ 1.5 \times (13.89)^2 = 1.5 \times 192.9 \approx 289.35 \]
Знаменатель:
\[ 2 \times 9.8 \times 300 = 2 \times 2940 = 5880 \]
Итак,
\[ h \approx \frac{289.35}{5880} \approx 0.0492\,м \]
или примерно 4.9 см.
Ответ:
\[ \boxed{ h \approx 5\, \text{см} } \]
То есть, наружный рельс нужно приподнять примерно на 5 сантиметров относительно внутреннего, чтобы давления были равными.
Если есть дополнительные уточнения или нужно более точное решение — могу помочь!
