Давайте разберёмся с поставленной задачей шаг за шагом.
Дано уравнение:
[ x^2 + \frac{b}{2}x + \frac{b}{4} = 0 ]
Шаг 1. Определим условие наличия ровно одного решения (повторный корень).
Для квадратного уравнения в виде:
[ ax^2 + bx + c = 0 ]
один корень (повторный корень) существует тогда и только тогда, когда дискриминант ( D = 0 ).
Дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac ]
Шаг 2. Определим коэффициенты, сравнивая с нашим уравнением.
Наше уравнение:
[ x^2 + \frac{b}{2}x + \frac{b}{4} = 0 ]
Коэффициенты:
- ( a = 1 )
- ( b = \frac{b}{2} ) (здесь (b) — параметр)
- ( c = \frac{b}{4} )
Обратите внимание, что при использовании дискриминанта для поиска условий для параметра, лучше всего подписать параметры так:
Обозначим параметр как ( p ) (чтобы не путать с коэффициентом у в уравнении). В нашей задаче коэффициент у ( a=1 ), коэфф. при ( x ) равен ( \frac{b}{2} ).
Используем обозначение:
- ( a = 1 )
- ( b_{coeff} = \frac{b}{2} )
- ( c = \frac{b}{4} )
Дискриминант:
[ D = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{b}{4} ]
Шаг 3. Вычислим дискриминант
[ D = \frac{b^2}{4} - 4 \cdot \frac{b}{4} = \frac{b^2}{4} - b ]
Шаг 4. Условие ровно одного решения — дискриминант равен нулю:
[ D = 0 ]
Подставляем выражение:
[ \frac{b^2}{4} - b = 0 ]
Шаг 5. Решим уравнение относительно ( b ):
[ \frac{b^2}{4} = b ]
Умножим обе части на 4:
[ b^2 = 4b ]
Перенесем всё в левую часть:
[ b^2 - 4b = 0 ]
Выносим ( b ) за скобки:
[ b(b - 4) = 0 ]
Отсюда получаем решения:
[ b = 0 \quad \text{или} \quad b = 4 ]
Ответ:
Значения параметра ( b ), при которых уравнение имеет ровно один корень:
[ \boxed{b=0 \quad \text{или} \quad b=4} ]
Шаг 6. Находим соответствующие решения уравнения для каждого найденного ( b ):
Для ( b=0 ):
Подставим в исходное уравнение:
[ x^2 + \frac{0}{2}x + \frac{0}{4} = 0 ]
Это уравнение:
[ x^2 = 0 ]
Решение:
[ x = 0 ]
Для ( b=4 ):
Подставим в исходное:
[ x^2 + \frac{4}{2}x + \frac{4}{4} = 0 ]
[ x^2 + 2x + 1 = 0 ]
Это квадратное уравнение:
[ (x + 1)^2 = 0 ]
Решение:
[ x = -1 ]
Итог:
- При ( b=0 ), одно решение: ( x=0 ).
- При ( b=4 ), одно решение: ( x=-1 ).
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — обращайтесь!
