Дано уравнение с параметром: x2 + (b/2)x + b/4 = 0 Сколько существует значений параметра b, при которых уравнение имеет ровно одно решение? Найдите решения, соответствующие…
Дано уравнение с параметром: x2 + (b/2)x + b/4 = 0 Сколько существует значений параметра b, при которых уравнение имеет ровно одно решение? Найдите решения, соответствующие найденным значениям b.
Давайте разберёмся с поставленной задачей шаг за шагом.
Дано уравнение:
\[ x^2 + \frac{b}{2}x + \frac{b}{4} = 0 \]
Шаг 1. Определим условие наличия ровно одного решения (повторный корень).
Для квадратного уравнения в виде:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
один корень (повторный корень) существует тогда и только тогда, когда дискриминант \( D = 0 \).
Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Шаг 2. Определим коэффициенты, сравнивая с нашим уравнением.
Наше уравнение:
\[ x^2 + \frac{b}{2}x + \frac{b}{4} = 0 \]
Коэффициенты:
- \( a = 1 \)
- \( b = \frac{b}{2} \) (здесь \(b\) — параметр)
- \( c = \frac{b}{4} \)
Обратите внимание, что при использовании дискриминанта для поиска условий для параметра, лучше всего подписать параметры так:
Обозначим параметр как \( p \) (чтобы не путать с коэффициентом у в уравнении). В нашей задаче коэффициент у \( a=1 \), коэфф. при \( x \) равен \( \frac{b}{2} \).
Используем обозначение:
- \( a = 1 \)
- \( b_{coeff} = \frac{b}{2} \)
- \( c = \frac{b}{4} \)
Дискриминант:
\[ D = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{b}{4} \]
Шаг 3. Вычислим дискриминант
\[ D = \frac{b^2}{4} - 4 \cdot \frac{b}{4} = \frac{b^2}{4} - b \]
Шаг 4. Условие ровно одного решения — дискриминант равен нулю:
\[ D = 0 \]
Подставляем выражение:
\[ \frac{b^2}{4} - b = 0 \]
Шаг 5. Решим уравнение относительно \( b \):
\[ \frac{b^2}{4} = b \]
Умножим обе части на 4:
\[ b^2 = 4b \]
Перенесем всё в левую часть:
\[ b^2 - 4b = 0 \]
Выносим \( b \) за скобки:
\[ b(b - 4) = 0 \]
Отсюда получаем решения:
\[ b = 0 \quad \text{или} \quad b = 4 \]
Ответ:
Значения параметра \( b \), при которых уравнение имеет ровно один корень:
\[ \boxed{b=0 \quad \text{или} \quad b=4} \]
Шаг 6. Находим соответствующие решения уравнения для каждого найденного \( b \):
Для \( b=0 \):
Подставим в исходное уравнение:
\[ x^2 + \frac{0}{2}x + \frac{0}{4} = 0 \]
Это уравнение:
\[ x^2 = 0 \]
Решение:
\[ x = 0 \]
Для \( b=4 \):
Подставим в исходное:
\[ x^2 + \frac{4}{2}x + \frac{4}{4} = 0 \]
\[ x^2 + 2x + 1 = 0 \]
Это квадратное уравнение:
\[ (x + 1)^2 = 0 \]
Решение:
\[ x = -1 \]
Итог:
- При \( b=0 \), одно решение: \( x=0 \).
- При \( b=4 \), одно решение: \( x=-1 \).
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — обращайтесь!
