Конденсатор ёмкостью С=40 нФ присоединён к источнику тока с ЭДС E=5,7 В и внутренним сопротивлением r=9,5 Ом, как показано на рисунке. Сопротивление резистора R1=10,2 Ом. В…
Конденсатор ёмкостью С=40 нФ присоединён к источнику тока с ЭДС E=5,7 В и внутренним сопротивлением r=9,5 Ом, как показано на рисунке. Сопротивление резистора R1=10,2 Ом. В начальный момент времени ключ замкнули. Каково значение энергии конденсатора спустя 10 мин после размыкания ключа? Ответ вырази в нДж и округли до целых.
Давайте подробно разберем задачу поэтапно.
Дано:
- Ёмкость конденсатора: \( C = 40 \text{ нФ} = 40 \times 10^{-9} \text{ Ф} \)
- Источник ЭДС: \( E = 5,7 \text{ В} \)
- Внутреннее сопротивление источника: \( r = 9,5 \text{ Ом} \)
- Сопротивление резистора: \( R_1 = 10,2 \text{ Ом} \)
- Время: \( t = 10 \text{ мин} = 10 \times 60 = 600 \text{ сек} \)
Этап 1: Анализ давления (запуск)
При замыкании ключа:
- Конденсатор заряжается через источник, сопротивление внутреннего сопротивления источника \( r \) и резистор \( R_1 \).
Поскольку источник подключен к конденсатору через резисторы, заряд конденсатора происходит по закону:
\[ Q(t) = Q_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) \]
где
- \( R_{общ} = r + R_1 = 9,5 + 10,2 = 19,7 \text{ Ом} \).
- \( C = 40 \times 10^{-9} \text{ Ф} \).
Этап 2: Время разрядки
В задачи речь идет о размыкании ключа — это означает, что через некоторое время источник отсоединен, и конденсатор разряжается через сопротивление \( R_1 \).
Поскольку ключ сначала замкнут, а затем разомкнут через 10 минут, рассматриваем разряд.
После размыкания источника конденсатор разряжается через \( R_1 \).
Время разряда по закону:
\[ Q(t) = Q_\text{initial} \times e^{-\frac{t}{RC}} \]
где:
- \( Q_\text{initial} \) — заряд на конденсаторе в момент размыкания.
Этап 3: Заряд на конденсаторе в момент размыкания
Время заряда достаточно большое — 10 минут, — и конденсатор встал на некоторый уровень зарядки.
Параллельно источнику, при длии замыкания, конденсатор зарядился почти до напряжения источника \( E \).
При этом, с учетом сопротивлений, финальный заряд на концах конденсатора после достаточно долгого времени близок к:
\[ Q_\text{фин} \approx C \times E \]
потому что при длительном зарядке, при условии корректного моделирования, напряжение на конденсатор будет близко к \( E \).
Этап 4: Полезное значение — энергия после 10 минут
После размыкания ключа, конденсатор разряжается через сопротивление \( R_1 \).
Энергия на конденсаторе в любой момент времени:
\[ W(t) = \frac{1}{2} C V(t)^2 \]
где \( V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{RC}} \).
Но напряжение в начальный момент разряда — это \( V_0 \approx E \).
Финальный расчет:
- Определим заряд в конденсаторе перед разрядом:
\[ Q_\text{initial} \approx C \times E = 40 \times 10^{-9} \times 5,7 \approx 2.28 \times 10^{-7} \text{ Кл} \]
- Напряжение на конденсаторе после 10 минут:
\[ V(600) = E \times e^{-\frac{600}{R_{total} C}} \]
\[ \tau = R_{total} \times C = 19,7 \times 40 \times 10^{-9} \approx 7,88 \times 10^{-7} \text{ с} \]
\[ \frac{600}{7.88 \times 10^{-7}} \approx 7.62 \times 10^{8} \]
Это очень большое число, \( e^{-\text{большое число}} \to 0 \), значит:
\[ V(600) \approx 0 \]
Конденсатор практически полностью разряжен.
Но в задаче нужно определить энергию через 10 минут, что, согласно расчетам и знанию физики, приблизительно равно нулю.
Итог:
Энергия на конденсаторе после 10 минут разряда:
\[ W = \frac{1}{2} C V^2 \approx 0 \]
— очень близка к нулю, так как конденсатор полностью разряжается за такой долгий срок.
Ответ:
Энергия конденсатора спустя 10 минут — примерно 0 нДж.
Для округления: 0 нДж.
Если нужно более точное численное значение, можно использовать формулы:
\[ W(t) = \frac{1}{2} C E^2 e^{-\frac{2t}{RC}} \]
Подставляя численные значения:
\[ W(600) = \frac{1}{2} \times 40 \times 10^{-9} \times (5.7)^2 \times e^{-\frac{2 \times 600}{7.88 \times 10^{-7}}} \]
Поскольку экспонента очень мала (экспонента с очень большим отрицательным аргументом), результат практически равен нулю.
Итоговая рекомендация:
Ответ: 0 нДж (округление до целых).
