(x ^ 2 + 2x - 3)/(x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x - 6) = 0

Давайте подробно решим задачу: \[ \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 + 2x^2 + 3x - 6} = 0 \] **Шаг 1: Понимание условий равенства дроби нулю** Драгоценное правило: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её **числитель равен 0**, а **знаменатель не равен 0**. Значит, сначала решим уравнение: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] и при этом посмотрим, при каких значениях \(x\) знаменатель не равен нулю. --- **Шаг 2: Решение числителя** Рассмотрим уравнение: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Используем формулу для квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\). Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Далее: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Получаем два корня: 1. \(\displaystyle x = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\) 2. \(\displaystyle x = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) --- **Шаг 3: Проверка знаменателя** Рассмотрим знаменатель: \[ x^3 + 2x^2 + 3x - 6 \] Попробуем его разложить или найти корни, чтобы исключить значения, при которых знаменатель равен нулю, так как \(x\) не может быть этим значением. **Проверим, равен ли знаменатель нулю для корней числителя:** - Для \(x=1\): \[ 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 6 = 1 + 2 + 3 - 6 = 0 \] - Для \(x=-3\): \[ (-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3) - 6 = -27 + 2 \cdot 9 - 9 - 6 = -27 + 18 - 9 - 6 = -24 \] Значит: - При \(x=1\) знаменатель равен 0 — это запрещённое значение, исключаем его. - При \(x=-3\) знаменатель не равен нулю, так как значение равно \(-24\). **Вывод:** - \(x=1\) не подходит, так как знаменатель равен нулю, а дробь тогда неопределена. - \(x=-3\) — подходит, так как числитель равен 0, а знаменатель — не равен 0. --- **### Итог:** **Единственное решение уравнения равно \(-3\).** **Ответ:** \(\boxed{x = -3}\) Если нужны дополнительные разъяснения — спрашивайте!