(x ^ 2 + 2x - 3)/(x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x - 6) = 0
Давайте подробно решим задачу:
\[ \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 + 2x^2 + 3x - 6} = 0 \]
Шаг 1: Понимание условий равенства дроби нулю
Драгоценное правило: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Значит, сначала решим уравнение:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
и при этом посмотрим, при каких значениях \(x\) знаменатель не равен нулю.
Шаг 2: Решение числителя
Рассмотрим уравнение:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Используем формулу для квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\).
Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Далее:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Получаем два корня:
\(\displaystyle x = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(\displaystyle x = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Шаг 3: Проверка знаменателя
Рассмотрим знаменатель:
\[ x^3 + 2x^2 + 3x - 6 \]
Попробуем его разложить или найти корни, чтобы исключить значения, при которых знаменатель равен нулю, так как \(x\) не может быть этим значением.
Проверим, равен ли знаменатель нулю для корней числителя:
- Для \(x=1\):
\[ 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 6 = 1 + 2 + 3 - 6 = 0 \]
- Для \(x=-3\):
\[ (-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3) - 6 = -27 + 2 \cdot 9 - 9 - 6 = -27 + 18 - 9 - 6 = -24 \]
Значит:
- При \(x=1\) знаменатель равен 0 — это запрещённое значение, исключаем его.
- При \(x=-3\) знаменатель не равен нулю, так как значение равно \(-24\).
Вывод:
- \(x=1\) не подходит, так как знаменатель равен нулю, а дробь тогда неопределена.
- \(x=-3\) — подходит, так как числитель равен 0, а знаменатель — не равен 0.
### Итог:
Единственное решение уравнения равно \(-3\).
Ответ: \(\boxed{x = -3}\)
Если нужны дополнительные разъяснения — спрашивайте!
