Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Скорость лодки в стоячей воде: ( v_{лодки} = 20 \text{ км/ч} )
- Расстояние по течению: ( s_1 = 12 \text{ км} )
- Расстояние против течения: ( s_2 = 8 \text{ км} )
- Время, затраченное на каждое путешествие, одинаковое.
Нам нужно найти скорость течения реки: ( v_{реки} = v_{течения} ).
Обозначения:
- Скорость лодки по течению: ( v_{по течению} = v_{лодки} + v_{реки} )
- Скорость лодки против течения: ( v_{против течения} = v_{лодки} - v_{реки} )
Шаг 1: Записать выражения для времени
Время в пути — это расстояние, делённое на скорость.
- Время по течению: ( t_1 = \frac{s_1}{v_{по течению}} = \frac{12}{v_{лодки} + v_{реки}} )
- Время против течения: ( t_2 = \frac{s_2}{v_{против течения}} = \frac{8}{v_{лодки} - v_{реки}} )
Так как по условию, время равно:
[ t_1 = t_2 ]
Шаг 2: Составить уравнение
[
\frac{12}{20 + v_{реки}} = \frac{8}{20 - v_{реки}}
]
Шаг 3: Решить уравнение
Перемножим обе части уравнения крест-накрест:
[
12(20 - v_{реки}) = 8(20 + v_{реки})
]
Раскроем скобки:
[
12 \times 20 - 12 v_{реки} = 8 \times 20 + 8 v_{реки}
]
[
240 - 12 v_{реки} = 160 + 8 v_{реки}
]
Перенесем все слагаемые с восклицательным знаком:
[
240 - 160 = 8 v_{реки} + 12 v_{реки}
]
[
80 = 20 v_{реки}
]
Найдем ( v_{реки} ):
[
v_{реки} = \frac{80}{20} = 4
]
Ответ:
Скорость течения реки — 4 км/ч.
