Три равные окружности с радиусом  18 18 касаются друг друга внешним образом. Найди периметр треугольника, вершинами которого являются точки касания этих окружностей.

Давайте разберем задачу по шагам. ### Условие задачи: - Есть три равные окружности с радиусом \( R = 18 \). - Окружности касаются друг друга внешним образом. - Точки касания окружностей образуют вершины треугольника. - Нужно найти периметр этого треугольника. --- ### Шаг 1. Построение и понимание ситуации Рассмотрим три одинаковые окружности, каждую радиусом 18, касающиеся друг друга. Пусть: - Обозначим окружности как \( C_1, C_2, C_3 \). - Пусть точки касания окружностей — это вершины треугольника \( ABC \), где: - \( A \) — точка касания окружностей \( C_1 \) и \( C_2 \), - \( B \) — точка касания окружностей \( C_2 \) и \( C_3 \), - \( C \) — точка касания окружностей \( C_3 \) и \( C_1 \). --- ### Шаг 2. Анализ положения окружностей и точек касания При внешней касании окружности: - Расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов. - Так как радиус у всех окружностей одинаковый и равен 18, то расстояние между центрами двух окружностей \( C_1 \) и \( C_2 \) равно: \[ d_{12} = R + R = 36 \] Аналогично для всех пар окружностей: \[ d_{12} = d_{23} = d_{31} = 36 \] Обозначим центры окружностей как \( O_1, O_2, O_3 \). --- ### Шаг 3. Связь между точками касания и центрами окружностей Точки касания \( A, B, C \) лежат на границе окружностей и образуют треугольник. При этом: - Точки касания лежат на одинаковом расстоянии от центров, равном радиусу — 18. - Поскольку окружности касаются, centers \( O_1, O_2, O_3 \) образуют равносторонний треугольник со стороной 36. --- ### Шаг 4. Взаимное расположение точек касания на окружностях Рассмотрим треугольник \( ABC \), вершины которого — точки касания. Нам нужно найти его периметр. - Точки касания расположены на окружностях, причем каждое касание — это точка, лежащая на окружности. - Точки касания можно определить как точки, где касательные к окружностям (сегменты) соприкасаются. Пара точек касания, например \( A \) и \( B \), расположены по условию так, что: - \( A \) — касание между \( C_1 \) и \( C_2 \), - \( B \) — касание между \( C_2 \) и \( C_3 \), - \( C \) — касание между \( C_3 \) и \( C_1 \). --- ### Шаг 5. Найти длины сторон треугольника \( ABC \) Давайте вычислим расстояние между точками касания, например, \( A \) и \( B \). Обозначим центры: \( O_1, O_2, O_3 \). Точки касания \( A \), \( B \), \( C \) находятся: - В точках, где касаются по окружности — то есть они лежат на окружностях диаметрально противоположных точкам касания. По геометрии, расстояние между \( A \) и \( B \) — это длина дуги на окружностях и расстояние между точками касания вокруг окружностей. --- ### Шаг 6. Использование симметрии Поскольку окружности равны и расположены по вершинам равностороннего треугольника, можно показать, что: - Точки касания \( A, B, C \) образуют равносторонний треугольник на основании симметрии. Длина стороны такого треугольника равна: \[ AB = BC = CA = 2 R \sin 60^\circ \] Потому что: - расстояние между точками касания — это хорда окружности, соединяющая точки, где касательные проходят через точки касания. - Поскольку окружности равны, а точки касания расположены симметрично, угол между линиями, соединяющими точки касания,. равен \( 60^\circ \). --- ### Шаг 7. Вычисление длины стороны Используем формулу длины хорды: \[ \text{длина хорды} = 2 R \sin \frac{\theta}{2} \] где \( \theta = 60^\circ \). Тогда: \[ AB = 2 \times 18 \times \sin 30^\circ = 36 \times 0.5 = 18 \] Аналогично для всех сторон. --- ### Итог: — Периметр треугольника, вершинами которого являются точки касания, равен: \[ P = 3 \times 18 = \boxed{54} \] --- ## Ответ: **Периметр этого треугольника равен **54**.**