Давайте подробно решим задачу, которая связана с движением мяча, брошенного вверх, — это классическая задача по физике, связанная с графиками функции и законом движения тела под действием силы тяжести.
Дано:
Функция высоты мяча: ( h(t) = 32t - 4t^2 )
Задача:
- Определить наибольшую высоту, которую достигнет мяч.
- Узнать, через какое время мяч упадёт на землю (т.е. когда высота станет равной нулю).
1. Определение наибольшей высоты
Функция ( h(t) = 32t - 4t^2 ) — это квадратичная функция (парабола), открытая вниз (коэффициент при ( t^2 ) отрицателен), значит максимум достигается в вершине параболы.
Шаги решения:
- Формула вершины параболы ( t_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} ) для функции ( at^2 + bt + c ).
В нашем случае:
( a = -4 ),
( b = 32 ).
Подставляем:
[
t_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{32}{2 \times (-4)} = -\frac{32}{-8} = 4 \text{ секунды}
]
— время достижения максимальной высоты — 4 секунды.
- Теперь найдём высоту в этот момент, подставляя ( t = 4 ):
[
h(4) = 32 \times 4 - 4 \times 4^2 = 128 - 4 \times 16 = 128 - 64 = 64 \text{ м}
]
Ответ на первый вопрос:
Максимальная высота, на которую взлетит мяч — 64 метра.
2. Время, через которое мяч упадёт на землю
Мяч упадёт на землю, когда высота станет равной нулю: ( h(t) = 0 ).
Решим уравнение:
[
32t - 4t^2 = 0
]
Вынесем ( t ) за скобки:
[
t(32 - 4t) = 0
]
Это произведение равно нулю, если:
- ( t = 0 ) (мяч был брошен, время начала отсчёта),
- или ( 32 - 4t = 0 ), откуда:
[
4t = 32 \Rightarrow t = 8 \text{ секунд}
]
Ответ на второй вопрос:
Мяч упадёт на землю через 8 секунд после броска.
Итог:
- Максимальная высота — 64 метра.
- Мяч упадёт на землю через 8 секунд.
Если нужны дополнительные объяснения или помощь с другим типом задач — обращайтесь!
