Рассмотрим уравнение:
[ 1 - 8 \cos^2 x \cdot \sin^2 x = 0. ]
Перенесем 1 в правую часть:
[ 8 \cos^2 x \cdot \sin^2 x = 1. ]
Обозначим ( \sin x = s ), тогда ( \cos x = c ), и помним, что:
[ c^2 = 1 - s^2. ]
Однако, проще использовать известное тождество:
[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x, ]
откуда:
[ \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x. ]
Следовательно:
[ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}. ]
Подставим в исходное уравнение:
[ 8 \cdot \frac{\sin^2 2x}{4} = 1 \Rightarrow 2 \sin^2 2x = 1. ]
Отсюда:
[ \sin^2 2x = \frac{1}{2}. ]
Значит:
[ \sin 2x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. ]
Решим:
[ 2x = \arcsin \left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \pi n. ]
Значения (\arcsin (\pm 1/\sqrt{2})) равны:
[ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n \quad \text{или} \quad 2x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]
Следовательно:
[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}. ]
Ответ:
[
\boxed{
x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.
}
]
