Улитка ползая по пересечёной местности за 1 час проползла 800мм,а за каждый следующий час она проползает на 25 мм меньше.Сколько времени она потратила на путь равный 5700мм
Дано:
- Первый час: улитка прошла 800 мм.
- Каждый следующий час: на 25 мм меньше, чем за предыдущий.
- Общее расстояние: 5700 мм.
Задача: найти, сколько часов улитка потратила на этот путь.
Обозначим:
- \( S_n \) — расстояние, пройденное за \( n \)-й час.
- Первый час: \( S_1 = 800 \) мм.
- Каждый следующий час: \( S_{n} = S_{n-1} - 25 \) мм.
Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 800 \) и разностью \( d = -25 \).
Общая сумма за \( n \) часов:
\[ S_{total} = S_1 + S_2 + \dots + S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n - 1)d) \]
Подставим значения:
\[ S_{total} = \frac{n}{2} (2 \times 800 + (n - 1)(-25)) \]
\[ S_{total} = \frac{n}{2} (1600 - 25(n - 1)) \]
Раскроем скобки:
\[ S_{total} = \frac{n}{2} (1600 - 25n + 25) = \frac{n}{2} (1625 - 25n) \]
Раскроем далее:
\[ S_{total} = \frac{n}{2} \times 1625 - \frac{n}{2} \times 25n = \frac{1625n}{2} - \frac{25n^2}{2} \]
Итак,
\[ S_{total} = \frac{1625n - 25n^2}{2} \]
Задача: найти \( n \), для которого сумма равна 5700 мм:
\[ \frac{1625n - 25n^2}{2} = 5700 \]
Умножим обе части на 2:
\[ 1625n - 25n^2 = 11400 \]
Обратим уравнение в стандартную квадратичную форму:
\[ -25n^2 + 1625n - 11400 = 0 \]
Для удобства разделим всю формулу на -25:
\[ n^2 - 65n + 456 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = 65^2 - 4 \times 1 \times 456 = 4225 - 1824 = 2401 \]
Корни:
\[ n = \frac{65 \pm \sqrt{2401}}{2} = \frac{65 \pm 49}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
\[ n = \frac{65 + 49}{2} = \frac{114}{2} = 57 \]
\[ n = \frac{65 - 49}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
Оба значения — целые и положительные. Однако, так как расстояние за каждый час уменьшается, последний час может иметь очень маленький пройденный путь.
Проверим, какое из решений подходит более логично. Посчитаем сумму для каждого:
Для \( n=8 \):
\[ S_{total} = \frac{1625 \times 8 - 25 \times 8^2}{2} = \frac{13000 - 25 \times 64}{2} = \frac{13000 - 1600}{2} = \frac{11400}{2} = 5700 \]
Это идеально подходит — сумма равна 5700 мм.
Для \( n=57 \):
\[ S_{total} = \frac{1625 \times 57 - 25 \times 57^2}{2} \]
Обратимся к исходной формуле и оценим:
\[ 1625 \times 57 \approx 92775 \] \[ 25 \times 57^2 = 25 \times 3249 \approx 81225 \]
\[ S_{total} \approx \frac{92775 - 81225}{2} = \frac{11550}{2} = 5775 \]
Это чуть больше 5700 мм, значит для 57 часов сумма превышает нужную, а для 8 часов — точно.
Вывод:
- За 8 часов улитка прошла ровно 5700 мм.
Ответ:
Улитка потратила 8 часов на путь длиной 5700 мм.
