6. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если дуга окружности составляет 80°, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 40°. 2) Если радиусы двух окружностей равны 3…

Давайте подробно разберём каждое из утверждений и определим, какие из них являются верными.

1) Если дуга окружности составляет 80°, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 40°.

Обоснование:

• Центральный угол — это угол, у вершины которого находится центр окружности.

• Он опирается на ту же дугу, что и соответствующая вписанная независимая от другого угла.

• По свойствам окружности:

  • Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половинеMeasure этой дуги.

• Но в этом утверждении говорится о центральном угле, опирающемся на ту же дугу.

• Для центральных углов — он равен мере дуги, на которую он опирается.

Итак:

• Если дуга — 80°, то центральный угол, опирающийся на нее, равен также 80°.

Вывод: Утверждение неверно. Там говорится, что он равен 40°, что неправда.

2) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.

Обоснование:

• Пусть радиусы: \( R_1 = 3 \), \( R_2 = 5 \).

• Расстояние между центрами: \( d = 1 \).

• Окружности пересекаются, если:

  \[ |R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2 \]

• Проверим:

  \[ |3 - 5| = 2 \] \[ R_1 + R_2 = 3 + 5 = 8 \]

• Наше расстояние — 1, а условие требует:

  \[ 2 < 1 < 8 \]

• Но 1 не больше 2, то есть:

  \[ 1 < 2 \]

• То есть условие не выполняется, и окружности не пересекаются (они слишком близки — центр слишком близко, меж ними отрицательное расстояние от точек пересечения).

Вывод: Утверждение неправильно — окружности не пересекаются, потому что расстояние между центрами меньше разницы радиусов.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

Обоснование:

• Окружность: радиус \( R = 3 \).

• Расстояние \( d = 2 \).

• Откосно, поскольку расстояние до прямой меньше радиуса (2 < 3), то прямая проходит внутри окружности, и всё равно должна пересекать её.

• Пересекаются тогда, когда расстояние от центра до прямой меньше или равно радиусу:

  \[ d \leq R \]

• Тут: \( 2 \leq 3 \), значит, прямая пересекает окружность.

Вывод: Утверждение — верное.

4) Вписанные углы окружности равны.

Обоснование:

• Вписанный угол — это угол, у вершины которого лежит точка на окружности, а стороны касаются дуги или сегмента.

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Однако, если утверждается, что все вписанные углы окружности равны друг другу независимо от дуги, то это неверно.

• Верное утверждение — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, но не все подряд.

На основе формулировки — утверждение, что вписанные углы окружности равны, менее точно, потому его можно считать неверным, если не указано, что они опираются на одну дугу.

Итог:

• Утверждение 1 — неверно.
• Утверждение 2 — неверно.
• Утверждение 3 — верно.
• Утверждение 4 — неверно или недостаточно точно, если считать, что все вписанные углы равны — не так, равны только те, что опираются на одну дугу.

Ответ: только утверждение 3 — верно.