Давайте решим задачу по шагам.
Задача: Определить высоту, на которой сила гравитационного притяжения в 4 раза меньше, чем на поверхности Земли. Радиус Земли — 6400 км.
Шаг 1: Вспомним закон гравитации
Сила притяжения (гравитационная сила) между Землёй и объектом определяется законом Ньютона:
[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
]
Где:
- ( F ) — сила притяжения,
- ( G ) — гравитационная постоянная,
- ( m_1 ) — масса Земли,
- ( m_2 ) — масса объекта,
- ( r ) — расстояние от центра Земли до объекта.
Обратите внимание, что ( G ), ( m_1 ), и ( m_2 ) постоянны для данной задачи.
Шаг 2: Отношение сил
На поверхности Земли, сила равна:
[
F_0 = G \frac{m_1 m_2}{R^2}
]
где ( R = 6400, \text{км} ).
На высоте ( h ), расстояние от центра Земли: ( r = R + h ).
Сила в этом случае:
[
F_h = G \frac{m_1 m_2}{(R + h)^2}
]
Шаг 3: Соотношение сил
Нам дано условие:
[
F_h = \frac{1}{4} F_0
]
Подставляя выражения, получим:
[
\frac{G m_1 m_2}{(R + h)^2} = \frac{1}{4} \times \frac{G m_1 m_2}{R^2}
]
Сокращая ( G m_1 m_2 ):
[
\frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{4 R^2}
]
Шаг 4: Решение уравнения
Из полученного уравнения:
[
(R + h)^2 = 4 R^2
]
Берём квадратный корень:
[
R + h = \pm 2 R
]
Так как высота не может быть отрицательной, рассматриваем положительный вариант:
[
R + h = 2 R
]
Отсюда:
[
h = 2 R - R = R
]
Итог: высота
[
h = R
]
Поскольку радиус Земли ( R = 6400, \text{км} ), то высота:
[
\boxed{h = 6400, \text{км}}
]
Ответ: Высота, на которой сила гравитации в 4 раза меньше, чем на поверхности Земли, составляет 6400 км.
