Определите, на какой высоте, считая от поверхности Земли, сила гравитационного притяжения в 4 раза меньше, чем на поверхности Земли? Радиус земли 6400 км. Ответ дайте в километрах.
Давайте решим задачу по шагам.
Задача: Определить высоту, на которой сила гравитационного притяжения в 4 раза меньше, чем на поверхности Земли. Радиус Земли — 6400 км.
Шаг 1: Вспомним закон гравитации
Сила притяжения (гравитационная сила) между Землёй и объектом определяется законом Ньютона:
\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]
Где:
- \( F \) — сила притяжения,
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( m_1 \) — масса Земли,
- \( m_2 \) — масса объекта,
- \( r \) — расстояние от центра Земли до объекта.
Обратите внимание, что \( G \), \( m_1 \), и \( m_2 \) постоянны для данной задачи.
Шаг 2: Отношение сил
На поверхности Земли, сила равна:
\[ F_0 = G \frac{m_1 m_2}{R^2} \]
где \( R = 6400\, \text{км} \).
На высоте \( h \), расстояние от центра Земли: \( r = R + h \).
Сила в этом случае:
\[ F_h = G \frac{m_1 m_2}{(R + h)^2} \]
Шаг 3: Соотношение сил
Нам дано условие:
\[ F_h = \frac{1}{4} F_0 \]
Подставляя выражения, получим:
\[ \frac{G m_1 m_2}{(R + h)^2} = \frac{1}{4} \times \frac{G m_1 m_2}{R^2} \]
Сокращая \( G m_1 m_2 \):
\[ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{4 R^2} \]
Шаг 4: Решение уравнения
Из полученного уравнения:
\[ (R + h)^2 = 4 R^2 \]
Берём квадратный корень:
\[ R + h = \pm 2 R \]
Так как высота не может быть отрицательной, рассматриваем положительный вариант:
\[ R + h = 2 R \]
Отсюда:
\[ h = 2 R - R = R \]
Итог: высота
\[ h = R \]
Поскольку радиус Земли \( R = 6400\, \text{км} \), то высота:
\[ \boxed{h = 6400\, \text{км}} \]
