Графики каких функций пересекают график функции у=√x в двух точках? y = x² y = 8 y = 0,5x + 0, 2 x = - 2 y = 3x + 4 y = 9/x
Рассмотрим каждую функцию по отдельности и определим, в каких точках её график пересекает график функции \( y = \sqrt{x} \) ровно в двух точках.
1. \( y = x^2 \)
Найдем точки пересечения, решая уравнение:
\[ \sqrt{x} = x^2 \]
Переходя к уравнению:
\[ x^2 = \sqrt{x} \]
Поскольку \(\sqrt{x} \geq 0\) для \(x \geq 0\), рассматриваем только x в области \(x \geq 0\).
Возводим обе части уравнения в квадрат:
\[ (x^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \] \[ x^4 = x \] \[ x^4 - x = 0 \] \[ x (x^3 - 1) = 0 \]
Отсюда
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^3 = 1 \Rightarrow x=1 \]
В точках:
- \(x=0\), тогда \(y= \sqrt{0} = 0\)
- \(x=1\), тогда \(y= \sqrt{1} = 1\)
Провека на количество точек пересечения:
- При \(x=0\), \(\sqrt{0}=0\) и \(x^2=0\) — совпадение, точка (0, 0).
- При \(x=1\), \(\sqrt{1}=1\), \(1^2=1\) — совпадение, точка (1, 1).
Значит, график функции \( y=x^2 \) и \( y=\sqrt{x} \) пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1, 1).
2. \( y=8 \)
Уравнение:
\[ \sqrt{x} = 8 \]
Решаем:
\[ \sqrt{x} = 8 \Rightarrow x = 8^2 = 64 \]
Это одна точка, где графики пересекаются: (64, 8).
Так как это одна точка, график \( y=8 \) и \( y=\sqrt{x} \) не пересекаются в двух точках.
3. \( y = 0.5x + 0.2 \)
Пусть:
\[ \sqrt{x} = 0.5x + 0.2 \]
Рассмотрим уравнение:
\[ \sqrt{x} = 0.5x + 0.2 \]
Поскольку \(\sqrt{x}\geq 0\), то правое выражение должно быть \(\geq 0\), что для \(x\geq 0\) выполнено.
Квадратим обе части:
\[ x = (0.5x + 0.2)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ x = 0.25x^2 + 2 \times 0.5x \times 0.2 + 0.2^2 \] \[ x = 0.25x^2 + 0.2x + 0.04 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 0.25x^2 + 0.2x + 0.04 - x = 0 \]
Объединяем подобные:
\[ 0.25x^2 - 0.8x + 0.04 = 0 \]
Умножим всё уравнение на 100 для удобства:
\[ 25x^2 - 80x + 4 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = (-80)^2 - 4 \times 25 \times 4 = 6400 - 400 = 6000 \]
Корни:
\[ x = \frac{80 \pm \sqrt{6000}}{2 \times 25} = \frac{80 \pm \sqrt{6000}}{50} \]
Рассчитаем \(\sqrt{6000} \approx 77.46\):
\[ x_1 = \frac{80 - 77.46}{50} \approx \frac{2.54}{50} = 0.0508 \] \[ x_2 = \frac{80 + 77.46}{50} \approx \frac{157.46}{50} = 3.149 \]
Обратим внимание, что обе эти точки положительны и удовлетворяют исходному уравнению (поскольку при подстановке вначале получали положительные значения). Поэтому, уравнение имеет две решения.
Проверим, чтобы оба решения были допустимы (значения \(\sqrt{x}\) должны равняться значению \(0.5x + 0.2\)):
Для \(x \approx 0.0508\):
\[ \sqrt{0.0508} \approx 0.225 \]
\[ 0.5 \times 0.0508 + 0.2 = 0.0254 + 0.2 = 0.2254 \]
Очень близко, значит, решение допустимо.
Для \(x \approx 3.149\):
\[ \sqrt{3.149} \approx 1.775 \]
\[ 0.5 \times 3.149 + 0.2 = 1.574 + 0.2 = 1.774 \]
Также очень близко, допустимо.
Итак, графики пересекаются в двух точках.
4. \( x=-2 \)
График функции \( y=\sqrt{x} \) определен только при \( x \geq 0 \). Поэтому, в точке \( x=-2 \) графика \( y=\sqrt{x} \) нет.
Следовательно, графики не пересекаются (вообще — не пересекаются, так как \( x=-2 \) не входит в область определения).
5. \( y=3x+4 \)
Рассмотрим уравнение:
\[ \sqrt{x} = 3x + 4 \]
Для решения:
\[ \sqrt{x} = 3x + 4 \]
Обратим внимание, что \( \sqrt{x} \geq 0 \), для \( 3x + 4 \geq 0 \):
\[ 3x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{4}{3} \]
но поскольку \(x\geq 0\), то условие сразу выполнено для \(x \geq 0\).
Возводим обе части в квадрат:
\[ x = (3x + 4)^2 = 9x^2 + 24x + 16 \]
Переносим всё в левую сторону:
\[ 0 = 9x^2 + 24x + 16 - x = 9x^2 + 23x + 16 \]
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = 23^2 - 4 \times 9 \times 16 = 529 - 576 = -47 \]
Дискриминант отрицательный — решений нет.
Следовательно, графики не пересекаются и, соответственно, точек пересечения нет.
6. \( y = \frac{9}{x} \)
Рассмотрим уравнение:
\[ \sqrt{x} = \frac{9}{x} \]
Делается вывод:
\[ \sqrt{x} \times x = 9 \]
или
\[ x \sqrt{x} = 9 \]
Обозначим \( t = \sqrt{x} \) (тогда \( x = t^2 \)):
\[ t^2 \times t = 9 \Rightarrow t^3 = 9 \]
Следовательно:
\[ t = \sqrt[3]{9} \]
Тогда,
\[ x = t^2 = (\sqrt[3]{9})^2 \]
Это положительное число, значит, есть одна точка пересечения.
Чтобы найти значение \( y \):
\[ y = \sqrt{x} = t = \sqrt[3]{9} \]
Ответ:
- \( x = (\sqrt[3]{9})^2 \),
- \( y = \sqrt[3]{9} \)
Это одна точка пересечения.
Итог:
Пересекают в двух точках:
\[ y = x^2 \] и \[ y = \sqrt{x} \]
Остальные функции пересекают график \( y = \sqrt{x} \) либо в одной точке, либо не пересекают его вовсе.
Если нужно кратко:
Функции, графики которых пересекают \( y = \sqrt{x} \) в двух точках:
- \( y = x^2 \)
- \( y = 0.5x + 0.2 \)
