Графики каких функций пересекают график функции у=√x в двух точках? y = x² y = 8 y = 0,5x + 0, 2 x = - 2 y = 3x + 4 y = 9/x

Рассмотрим каждую функцию по отдельности и определим, в каких точках её график пересекает график функции \( y = \sqrt{x} \) ровно в двух точках. --- ### 1. \( y = x^2 \) Найдем точки пересечения, решая уравнение: \[ \sqrt{x} = x^2 \] Переходя к уравнению: \[ x^2 = \sqrt{x} \] Поскольку \(\sqrt{x} \geq 0\) для \(x \geq 0\), рассматриваем только x в области \(x \geq 0\). Возводим обе части уравнения в квадрат: \[ (x^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \] \[ x^4 = x \] \[ x^4 - x = 0 \] \[ x (x^3 - 1) = 0 \] Отсюда \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^3 = 1 \Rightarrow x=1 \] В точках: - \(x=0\), тогда \(y= \sqrt{0} = 0\) - \(x=1\), тогда \(y= \sqrt{1} = 1\) Провека на количество точек пересечения: - При \(x=0\), \(\sqrt{0}=0\) и \(x^2=0\) — совпадение, точка (0, 0). - При \(x=1\), \(\sqrt{1}=1\), \(1^2=1\) — совпадение, точка (1, 1). Значит, график функции \( y=x^2 \) и \( y=\sqrt{x} \) пересекаются в **двух точках**: (0, 0) и (1, 1). --- ### 2. \( y=8 \) Уравнение: \[ \sqrt{x} = 8 \] Решаем: \[ \sqrt{x} = 8 \Rightarrow x = 8^2 = 64 \] Это одна точка, где графики пересекаются: (64, 8). Так как это **одна точка**, график \( y=8 \) и \( y=\sqrt{x} \) **не пересекаются в двух точках**. --- ### 3. \( y = 0.5x + 0.2 \) Пусть: \[ \sqrt{x} = 0.5x + 0.2 \] Рассмотрим уравнение: \[ \sqrt{x} = 0.5x + 0.2 \] Поскольку \(\sqrt{x}\geq 0\), то правое выражение должно быть \(\geq 0\), что для \(x\geq 0\) выполнено. Квадратим обе части: \[ x = (0.5x + 0.2)^2 \] Раскроем скобки: \[ x = 0.25x^2 + 2 \times 0.5x \times 0.2 + 0.2^2 \] \[ x = 0.25x^2 + 0.2x + 0.04 \] Переносим все в одну сторону: \[ 0.25x^2 + 0.2x + 0.04 - x = 0 \] Объединяем подобные: \[ 0.25x^2 - 0.8x + 0.04 = 0 \] Умножим всё уравнение на 100 для удобства: \[ 25x^2 - 80x + 4 = 0 \] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = (-80)^2 - 4 \times 25 \times 4 = 6400 - 400 = 6000 \] Корни: \[ x = \frac{80 \pm \sqrt{6000}}{2 \times 25} = \frac{80 \pm \sqrt{6000}}{50} \] Рассчитаем \(\sqrt{6000} \approx 77.46\): \[ x_1 = \frac{80 - 77.46}{50} \approx \frac{2.54}{50} = 0.0508 \] \[ x_2 = \frac{80 + 77.46}{50} \approx \frac{157.46}{50} = 3.149 \] Обратим внимание, что обе эти точки положительны и удовлетворяют исходному уравнению (поскольку при подстановке вначале получали положительные значения). Поэтому, уравнение имеет **две решения**. Проверим, чтобы оба решения были допустимы (значения \(\sqrt{x}\) должны равняться значению \(0.5x + 0.2\)): Для \(x \approx 0.0508\): \[ \sqrt{0.0508} \approx 0.225 \] \[ 0.5 \times 0.0508 + 0.2 = 0.0254 + 0.2 = 0.2254 \] Очень близко, значит, решение допустимо. Для \(x \approx 3.149\): \[ \sqrt{3.149} \approx 1.775 \] \[ 0.5 \times 3.149 + 0.2 = 1.574 + 0.2 = 1.774 \] Также очень близко, допустимо. Итак, графики пересекаются в **двух точках**. --- ### 4. \( x=-2 \) График функции \( y=\sqrt{x} \) определен только при \( x \geq 0 \). Поэтому, в точке \( x=-2 \) графика \( y=\sqrt{x} \) нет. Следовательно, графики не пересекаются (вообще — не пересекаются, так как \( x=-2 \) не входит в область определения). --- ### 5. \( y=3x+4 \) Рассмотрим уравнение: \[ \sqrt{x} = 3x + 4 \] Для решения: \[ \sqrt{x} = 3x + 4 \] Обратим внимание, что \( \sqrt{x} \geq 0 \), для \( 3x + 4 \geq 0 \): \[ 3x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{4}{3} \] но поскольку \(x\geq 0\), то условие сразу выполнено для \(x \geq 0\). Возводим обе части в квадрат: \[ x = (3x + 4)^2 = 9x^2 + 24x + 16 \] Переносим всё в левую сторону: \[ 0 = 9x^2 + 24x + 16 - x = 9x^2 + 23x + 16 \] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = 23^2 - 4 \times 9 \times 16 = 529 - 576 = -47 \] Дискриминант отрицательный — решений нет. Следовательно, **графики не пересекаются** и, соответственно, точек пересечения нет. --- ### 6. \( y = \frac{9}{x} \) Рассмотрим уравнение: \[ \sqrt{x} = \frac{9}{x} \] Делается вывод: \[ \sqrt{x} \times x = 9 \] или \[ x \sqrt{x} = 9 \] Обозначим \( t = \sqrt{x} \) (тогда \( x = t^2 \)): \[ t^2 \times t = 9 \Rightarrow t^3 = 9 \] Следовательно: \[ t = \sqrt[3]{9} \] Тогда, \[ x = t^2 = (\sqrt[3]{9})^2 \] Это положительное число, значит, есть одна точка пересечения. Чтобы найти значение \( y \): \[ y = \sqrt{x} = t = \sqrt[3]{9} \] Ответ: - \( x = (\sqrt[3]{9})^2 \), - \( y = \sqrt[3]{9} \) Это **одна точка** пересечения. --- ### Итог: - **Пересекают в двух точках:** \[ y = x^2 \] и \[ y = \sqrt{x} \] - Остальные функции пересекают график \( y = \sqrt{x} \) либо в одной точке, либо не пересекают его вовсе. --- Если нужно кратко: **Функции, графики которых пересекают \( y = \sqrt{x} \) в двух точках:** - \( y = x^2 \) - \( y = 0.5x + 0.2 \)