Рассмотрим задачу пошагово:
Обозначим:
- количество костюмов в первом театре изначально — (x),
- количество костюмов во втором театре изначально — (y).
Из условий задачи:
В сумме всего костюмов было 70:
[
x + y = 70
]
Первый театр передает половину своих костюмов второму:
[
\text{Передача} = \frac{x}{2}
]
После передачи:
- в первом театре стало:
[
x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}
]
- во втором театре стало:
[
y + \frac{x}{2}
]
В новом состоянии в первом театре стало в 4 раза меньше костюмов, чем во втором:
[
\frac{x}{2} = \frac{1}{4} \left( y + \frac{x}{2} \right)
]
Теперь решим уравнение из пункта 3.
Перепишем его:
[
\frac{x}{2} = \frac{1}{4} \left( y + \frac{x}{2} \right)
]
Упростим правую часть:
[
\frac{x}{2} = \frac{y}{4} + \frac{x}{8}
]
Домножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:
[
8 \cdot \frac{x}{2} = 8 \cdot \left( \frac{y}{4} + \frac{x}{8} \right)
]
Это даёт:
[
4x = 2y + x
]
Перенесем все в одно уравнение:
[
4x - x = 2y
]
[
3x = 2y
]
Выразим ( y ):
[
y = \frac{3x}{2}
]
Заменим в уравнении суммы костюмов:
[
x + y = 70
]
[
x + \frac{3x}{2} = 70
]
Объединим:
[
\frac{2x}{2} + \frac{3x}{2} = 70
]
[
\frac{5x}{2} = 70
]
Отсюда найдем (x):
[
5x = 140
]
[
x = \frac{140}{5} = 28
]
Теперь найдём ( y ):
[
y = \frac{3 \cdot 28}{2} = \frac{84}{2} = 42
]
Ответ:
- В первом театре изначально было 28 костюмов,
- во втором — 42 костюма.
Проверка: сумма (28 + 42 = 70), что соответствует условию.
После передачи: в первом осталось (28/2 = 14), а во втором стало (42 + 14 = 56).
В первом — 14, во втором — 56, и (14 \times 4 = 56), что соответствует условию.
Итог:
Первый театр изначально имел 28 костюмов, второй — 42.
