Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг.
Дано:
- Скорость первой части пути: (V_1 = 60) км/ч
- Скорость второй части пути: (V_2 = 20) км/ч
- Средняя скорость за весь путь: (V_{ср} = 30) км/ч
Обозначим:
- длина первой части пути: (S_1)
- длина второй части пути: (S_2)
Нам нужно найти отношение (S_2 / S_1).
Шаг 1: Запишем формулы времени для каждой части пути
Время, затраченное на первую часть:
[
t_1 = \frac{S_1}{V_1}
]
Время для второй части:
[
t_2 = \frac{S_2}{V_2}
]
Общее время:
[
T = t_1 + t_2 = \frac{S_1}{V_1} + \frac{S_2}{V_2}
]
Шаг 2: Запишем формулу для средней скорости
Средняя скорость определяется как общее пройденное расстояние разделить на общее время:
[
V_{ср} = \frac{S_1 + S_2}{T}
]
Подставим выражение для (T):
[
30 = \frac{S_1 + S_2}{\frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{20}}
]
Шаг 3: Упростим выражение
Обозначим (S_1 = x), тогда (S_2 = y).
Подставим:
[
30 = \frac{x + y}{\frac{x}{60} + \frac{y}{20}}
]
Найдем общий знаменатель в знаменателе:
[
\frac{x}{60} + \frac{y}{20} = \frac{x}{60} + \frac{3y}{60} = \frac{x + 3y}{60}
]
Теперь уравнение выглядит так:
[
30 = \frac{x + y}{(x + 3y)/60}
]
Деление на дробь равно умножению на обратную:
[
30 = (x + y) \times \frac{60}{x + 3y}
]
Перепишем:
[
30 = \frac{60(x + y)}{x + 3y}
]
Шаг 4: Решим полученное уравнение
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на (x + 3y):
[
30(x + 3y) = 60(x + y)
]
Раскроем скобки:
[
30x + 90y = 60x + 60y
]
Перенесем все в одну сторону:
[
30x + 90y - 60x - 60y = 0
]
Сгруппируем подобные:
[
(30x - 60x) + (90y - 60y) = 0
]
[
-30x + 30y = 0
]
Разделим обе части на 30:
[
Следовательно:
[
y = x
]
Ответ:
Длина второй части пути равна длине первой части, то есть:
[
\boxed{
\frac{S_2}{S_1} = 1
}
]
То есть вторая часть пути не длиннее первой, а равна ей в длине.
Если нужно, я могу дополнительно объяснить, почему получился именно такой результат, или разобрать схему решения.
