Вписанная в трапецию окружность точкой касания делит боковую сторону на отрезки 9 и 16. Определи радиус окружности.

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - Вписанная окружность касается боковой стороны трапеции и делит её на отрезки 9 и 16. - Нужно найти радиус окружности (r). **Что известно и что нужно найти:** - Размеры отрезков касаний боковой стороны трапеции. - Радиус вписанной окружности. --- ### Шаг 1. Что такое вписанная окружность в трапецию? Она касается всех четырёх сторон трапеции и делит боковые стороны на равные отрезки. Здесь предполагается, что касание происходит внутри боковой стороны, и точка касания делит боковую сторону на отрезки 9 и 16. **Важно:** Вписанная окружность касается сторон, и точка касания с боковой стороной делит её на сегменты, равные сумме оснований или связанным с разными свойствами трапеции. --- ### Шаг 2. Обозначения и свойства трапеции Обозначим: - Верхнее основание: \( a \), - Нижнее основание: \( b \), - Боковые стороны: \( c, d \), - Высота: \( h \), - Радиус окружности: \( r \). Поскольку окружность внутри трапеции, все стороны касаются окружности. Точка касания делит боковую сторону на отрезки 9 и 16, итого: \[ \text{Длина боковой стороны} = 9 + 16 = 25. \] **Это означает, что боковая сторона — это сторона, делённая касательной точкой, которая делит её на два отрезка 9 и 16.** --- ### Шаг 3. Свойства касания вписанной окружности Вписанная окружность касается всех сторон, и касания со сторонами характеризуются точками, где касательная равна радиусу \( r \). Из свойств трапеции, в которой есть вписанная окружность, известен факт: > Вписанная окружность может быть только в трапеции, если суммы длин оснований равны сумме длин боковых сторон: > > \[ > a + b = c + d. > \] Так как касание делит боковую сторону на отрезки 9 и 16, то длина боковой стороны равна 25, а другая боковая сторона тоже делит касательную по тому же принципу. --- ### Шаг 4. Связь касаний и радиуса Рассмотрим сторону трапеции, к которой приложена точка касания. Пусть касание происходит в точке \( T \) на боковой стороне. Тогда радиус \( r \) является расстоянием от центра окружности до этой точки касания. Также известно, что касательные к окружности из точки внутри трапеции имеют длину, равную \( r \), связаны с радиусом и длинами сторон. --- ### Шаг 5. Применение свойства Поскольку точка касания делит боковую сторону длиной 25 на сегменты 9 и 16, то: - Расстояние от точки касания до вершины, откуда эта боковая сторона исходит, равно 9. - Расстояние от точки касания до другой вершины равно 16. Так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания, то: \[ \boxed{ r = \text{расстояние от центра окружности до стороны} } \] --- ### Шаг 6. Использование данных о делении стороны Пусть \( M \) — центр окружности, а \( T \) — точка касания. Тогда: - Радиус перпендикулярен боковой стороне в точке \( T \). - Расстояние от \( M \) до \( T \) равно \( r \). - Расстояния от \( M \) до вершины и основания связаны с радиусом, высотой трапеции, и длинами боковых сторон. --- ### Итоговое решение: Чтобы найти \( r \), заметим, что в данной задаче наиболее важна длина боковой стороны и деление её касательной. Самое очевидное и простое решение — радиус окружности равен длине отрезка, который соответствует радиусу, по свойству касания. Поскольку касательная делит сторону на 9 и 16, \[ \boxed{ r = \frac{9 + 16}{2} = \frac{25}{2} = 12{,}5 } \] --- ## Итог: **Радиус вписанной окружности равен \(\boxed{12{,}5}\).** --- Если нужно более подробное решение или есть дополнительные параметры, уточняйте!