Как решать систему уравнений методом сложения?

Метод сложения (или метод elimination) — это один из способов решения систем линейных уравнений. Он основан на том, чтобы сложить или вычитать уравнения так, чтобы избавиться от одной переменной, а затем найти другую. Ниже я объясню пошагово, как решать систему уравнений этим методом. --- ### Общий вид системы уравнений: \[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \] --- ### Шаги решения методом сложения: **Шаг 1: Выравнивание системы** Убедитесь, что оба уравнения приведены к одинаковому виду, то есть, переменные и константы расположены по одинаковому шаблону. **Шаг 2: Подготовка к избавлению переменной** Чтобы избавиться от одной переменной, нужно сделать так, чтобы коэффициенты перед этой переменной были одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку. - Для этого найдите НОК (наименьшее общее кратное) модулей коэффициентов перед переменной, которую собираетесь устранять. - Умножьте оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты перед выбранной переменной стали равными по модулю. **Пример:** Если у вас есть уравнения: \[ 2x + 3y = 8 \\ -4x + y = 2 \] Для устранения \(x\), можно привести коэффициенты при \(x\) к одинаковому по модулю: - В первом уравнении коэффициент при \(x\) — 2 - Во втором — -4 Чтобы сделать их равными по модулю, умножим первое уравнение на 2: \[ (2x + 3y = 8) \times 2 \Rightarrow 4x + 6y = 16 \] Уже есть второе уравнение — \(-4x + y = 2\). --- **Шаг 3: Складываем уравнения** Теперь сложите полученные уравнения, чтобы избавиться от выбранной переменной: \[ (4x + 6y) + (-4x + y) = 16 + 2 \] Это даст: \[ (4x - 4x) + (6y + y) = 18 \\ 0x + 7y = 18 \] **Шаг 4: Решите оставшееся уравнение** Теперь у вас есть уравнение только с одной переменной: \[ 7y = 18 \Rightarrow y = \frac{18}{7} \] **Шаг 5: Подставьте найденное значение в исходное уравнение** Чтобы найти \(x\), подставьте \(y = \frac{18}{7}\) в любое из исходных уравнений. Например, в первое: \[ 2x + 3 \times \frac{18}{7} = 8 \] Вычисляем: \[ 2x + \frac{54}{7} = 8 \] Приведем 8 к дроби с знаменателем 7: \[ 2x + \frac{54}{7} = \frac{56}{7} \] Вычитаем \(\frac{54}{7}\): \[ 2x = \frac{56}{7} - \frac{54}{7} = \frac{2}{7} \] Делим обе части на 2: \[ x = \frac{2/7}{2} = \frac{2}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{7} \] --- ### Итоговое решение: \[ \boxed{ x = \frac{1}{7}, \quad y = \frac{18}{7} } \] --- Если нужны дополнительные пояснения или пример с другой системой, скажи!