Как решать систему уравнений методом сложения?

Метод сложения (или метод elimination) — это один из способов решения систем линейных уравнений. Он основан на том, чтобы сложить или вычитать уравнения так, чтобы избавиться от одной переменной, а затем найти другую. Ниже я объясню пошагово, как решать систему уравнений этим методом.

Общий вид системы уравнений:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

Шаги решения методом сложения:

Шаг 1: Выравнивание системы
Убедитесь, что оба уравнения приведены к одинаковому виду, то есть, переменные и константы расположены по одинаковому шаблону.

Шаг 2: Подготовка к избавлению переменной
Чтобы избавиться от одной переменной, нужно сделать так, чтобы коэффициенты перед этой переменной были одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку.

• Для этого найдите НОК (наименьшее общее кратное) модулей коэффициентов перед переменной, которую собираетесь устранять.
• Умножьте оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты перед выбранной переменной стали равными по модулю.

Пример:
Если у вас есть уравнения: \[ 2x + 3y = 8 \\ -4x + y = 2 \]

Для устранения \(x\), можно привести коэффициенты при \(x\) к одинаковому по модулю:

• В первом уравнении коэффициент при \(x\) — 2
• Во втором — -4

Чтобы сделать их равными по модулю, умножим первое уравнение на 2:

\[ (2x + 3y = 8) \times 2 \Rightarrow 4x + 6y = 16 \]

Уже есть второе уравнение — \(-4x + y = 2\).

Шаг 3: Складываем уравнения
Теперь сложите полученные уравнения, чтобы избавиться от выбранной переменной:

\[ (4x + 6y) + (-4x + y) = 16 + 2 \]

Это даст:

\[ (4x - 4x) + (6y + y) = 18 \\ 0x + 7y = 18 \]

Шаг 4: Решите оставшееся уравнение
Теперь у вас есть уравнение только с одной переменной:

\[ 7y = 18 \Rightarrow y = \frac{18}{7} \]

Шаг 5: Подставьте найденное значение в исходное уравнение
Чтобы найти \(x\), подставьте \(y = \frac{18}{7}\) в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

\[ 2x + 3 \times \frac{18}{7} = 8 \]

Вычисляем:

\[ 2x + \frac{54}{7} = 8 \]

Приведем 8 к дроби с знаменателем 7:

\[ 2x + \frac{54}{7} = \frac{56}{7} \]

Вычитаем \(\frac{54}{7}\):

\[ 2x = \frac{56}{7} - \frac{54}{7} = \frac{2}{7} \]

Делим обе части на 2:

\[ x = \frac{2/7}{2} = \frac{2}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{7} \]

Итоговое решение:

\[ \boxed{ x = \frac{1}{7}, \quad y = \frac{18}{7} } \]

Если нужны дополнительные пояснения или пример с другой системой, скажи!