Давайте разберем задачу пошагово.
Дано:
- Количество светофоров N = 7.
- Каждый светофор работает независимо и чередует сигналы (красный и зеленый) со своей периодичностью.
- Вероятно, предполагается, что вероятность остановки на одном светофоре равна 0,5 (то есть, что светофор либо красный, либо зеленый с равными шансами).
Что требуется найти:
- Вероятность того, что Юля остановится ровно 4 раза на всей улице из 7 светофоров.
Предположения и допущения
Поскольку в условии не указано явно, какова вероятность остановки на одном светофоре, наиболее стандартным допущением является равная вероятность остановки и проезда без остановки — то есть:
[
p = P(\text{остановка на одном светофоре}) = 0,5,
]
[
q = P(\text{проезд без остановки}) = 1 - p = 0,5.
]
Это типичная ситуация для задачи по биномиальному распределению.
Решение
- Модель:
Количество остановок на 7 светофорах — это биномиальная случайная величина (X), которая описывается формулой:
[
P(X = k) = \binom{N}{k} p^k q^{N-k},
]
где:
- (N = 7),
- (k) — число остановок,
- (p = 0,5),
- (q = 0,5).
- Нам нужно найти:
[
P(X = 4) = \binom{7}{4} (0,5)^4 (0,5)^{3} = \binom{7}{4} (0,5)^{7}.
]
- Рассчитаем биномиальный коэффициент (\binom{7}{4}):
[
\binom{7}{4} = \frac{7!}{4! \times (7 - 4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35.
]
- Упростим выражение:
[
P(X=4) = 35 \times (0,5)^7.
]
Так как ((0,5)^7 = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}).
- Итог:
[
P(X=4) = 35 \times \frac{1}{128} = \frac{35}{128}.
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{35}{128} \approx 0,2734.
}
]
То есть, вероятность того, что Юля остановится ровно 4 раза на всей улице из 7 светофоров, равна примерно 27,34%.
Если нужно, могу помочь объяснить каждое действие подробнее или рассмотреть другой сценарий.
