Реши систему уравнений { 4 x + 3 y = 9 ; x + 2 4 − y 2 = 10. { 4x+3y=9; 4 x+2 − 2 y =10.
Давайте решим данную систему уравнений пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дана система уравнений:
- 4x + 3y = 9
- 4x + 2 - y² = 10
Шаг 1: Упростим второе уравнение
Второе уравнение: 4x + 2 - y² = 10
Вычтем 2 с обеих сторон: 4x - y² = 8
Теперь у нас есть система:
- 4x + 3y = 9
- 4x - y² = 8
Шаг 2: Выразим 4x из первого уравнения
Из первого уравнения:
4x + 3y = 9
Выразим 4x: 4x = 9 - 3y
Шаг 3: Подставим выражение для 4x в второе уравнение
Подставим 4x = 9 - 3y в уравнение 2:
(9 - 3y) - y² = 8
При этом мы получаем уравнение только относительно y.
Шаг 4: Получим квадратичное уравнение
Раскроем скобки и упростим:
9 - 3y - y² = 8
Перенесем все в левую сторону:
-y² - 3y + 9 - 8 = 0
-y² - 3y + 1 = 0
Чтобы избавиться от знака минус перед y², умножим всё уравнение на -1:
y² + 3y - 1 = 0
Это — квадратичное уравнение по y.
Шаг 5: Решим квадратичное уравнение
Используем формулу для нахождения корней:
y = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a,
где a = 1, b = 3, c = -1.
Подставим значения:
y = [ -3 ± √(3² - 41(-1)) ] / 2
y = [ -3 ± √(9 + 4) ] / 2
y = [ -3 ± √13 ] / 2
Итак, получаем два решения для y:
y₁ = ( -3 + √13 ) / 2
y₂ = ( -3 - √13 ) / 2
Шаг 6: Найдём соответствующие x для каждого y
Используем выражение 4x = 9 - 3y из Шага 2.
Для y₁:
y₁ = ( -3 + √13 ) / 2
Общая формула:
4x = 9 - 3y
Подставляем y₁:
4x = 9 - 3 * [( -3 + √13 ) / 2 ]
Посчитаем:
4x = 9 - [ 3 * ( -3 + √13 ) ] / 2
= 9 - [ ( -9 + 3√13 ) ] / 2
Чтобы сложить, сделаем общий знаменатель:
= ( 9 * 2 ) / 2 - ( -9 + 3√13 ) / 2
= ( 18 + 9 - 3√13 ) / 2
= ( 27 - 3√13 ) / 2
Теперь найдём x:
x = [ ( 27 - 3√13 ) / 2 ] / 4
x = ( 27 - 3√13 ) / (2 * 4 )
x = ( 27 - 3√13 ) / 8
Для y₂:
y₂ = ( -3 - √13 ) / 2
Аналогично:
4x = 9 - 3y₂
4x = 9 - 3 * [( -3 - √13 ) / 2 ]
= 9 - ( -9 - 3√13 ) / 2
= ( 18 + 9 + 3√13 ) / 2
= ( 27 + 3√13 ) / 2
x = [ ( 27 + 3√13 ) / 2 ] / 4
= ( 27 + 3√13 ) / ( 2 * 4 )
= ( 27 + 3√13 ) / 8
Итоговые решения:
\[ \boxed{ \begin{aligned} & y_1 = \frac{ -3 + \sqrt{13} }{ 2 }, \quad x_1 = \frac{ 27 - 3 \sqrt{13} }{ 8 } \\ & y_2 = \frac{ -3 - \sqrt{13} }{ 2 }, \quad x_2 = \frac{ 27 + 3 \sqrt{13} }{ 8 } \end{aligned} } \]
Если нужно, я могу помочь с числовым приближением. Хотите?
