х³-8-2х(х-2)=0 решить уравнение

Давайте решим уравнение: \( x^3 - 8 - 2x(x - 2) = 0 \).

Шаг 1. Раскроем скобки и упростим выражение.

Первое, что необходимо сделать — раскрыть скобки по мере необходимости: \[ - 2x(x - 2) = -2x \cdot x + (-2x) \cdot (-2) = -2x^2 + 4x \]

Теперь подставим это обратно в уравнение: \[ x^3 - 8 - 2x^2 + 4x = 0 \]

Шаг 2. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = 0 \]

Шаг 3. Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы Виета или методом подбора. Обычно рациональные корни — делители свободного члена (-8), то есть: \[ \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \]

Проверим подстановкой эти значения.

• Для \( x = 1 \): \[ 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 + 4 - 8 = -5 \neq 0 \]

• Для \( x = -1 \): \[ (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 8 = -1 - 2 - 4 - 8 = -15 \neq 0 \]

• Для \( x = 2 \): \[ 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 8 = 8 - 8 + 8 - 8 = 0 \]

Отлично! \( x=2 \) — это корень уравнения.

Шаг 4. Разделим многочлен на \((x - 2)\) (используя деление в столбик или синтетическое деление), чтобы найти остальные корни.

Проведем синтетическое деление или деление многочлена:

Используем деление многочлена:

\[ x^3 - 2x^2 + 4x - 8 \div (x - 2) \]

Синтетическое деление:

• Запишем коэффициенты: 1 | -2 | 4 | -8

• Берем корень делителя \( 2 \):

\[ \begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -2 & 4 & -8 \\ & & 2 & 0 & 8 \\ \hline & 1 & 0 & 4 & 0 \\ \end{array} \]

Получается многочлен второй степени: \[ x^2 + 0x + 4 = x^2 + 4 \]

Шаг 5. Решим полученное квадратичное уравнение: \[ x^2 + 4 = 0 \] \[ x^2 = -4 \] \[ x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i \]

Это комплексные корни.

Ответ:

Решения уравнения: \[ x = 2, \quad x = 2i, \quad x = -2i \]

Если нужны только действительные решения, то единственное — \( x=2 \).

Если есть вопросы или нужно более подробно — скажите!