Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Задача: Есть прямоугольник ABCD, даны координаты трех вершин:
Требуется найти координаты четвертой вершины B.
Шаг 1: Вспоминаем свойства прямоугольника
В прямоугольнике противоположные вершины соединены по диагоналям, которые пересекаются в центре фигуры и равны по длине. Также, диагонали делят друг друга пополам.
В частности:
- Диагонали делят друг друга пополам.
- Координаты противоположных вершин связаны через середину диагонали.
Шаг 2: Определим, какие вершины соединяет диагональ
Обозначим вершины:
- A(0;0)
- C(7;2)
- D(7;0)
- И нужно найти B(x;y).
Диагональ, соединяющая вершины A и C, должна быть параллельна диагонали, соединяющей B и D.
Шаг 3: Используем свойства диагоналей
Диагональ AC имеет координаты:
Координаты середины диагонали AC:
[
M_{AC} = \left( \frac{0 + 7}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (3.5, 1)
]
Шаг 4: Аналогично для диагонали BD
Диагональ BD соединяет вершины B(x;y) и D(7;0).
Поскольку диагонали пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам:
[
M_{BD} = M_{AC} = (3.5, 1)
]
Координаты средней точки B и D:
[
M_{BD} = \left( \frac{x + 7}{2}, \frac{y + 0}{2} \right)
]
Их должно быть равно средине диагонали AC:
[
\left( \frac{x + 7}{2}, \frac{y + 0}{2} \right) = (3.5, 1)
]
Шаг 5: Решим систему уравнений
Из равенства по x:
[
\frac{x + 7}{2} = 3.5 \Rightarrow x + 7 = 7 \Rightarrow x = 0
]
Из равенства по y:
[
\frac{y + 0}{2} = 1 \Rightarrow y + 0 = 2 \Rightarrow y = 2
]
Ответ: координаты точки B
[
\boxed{B(0; 2)}
]
Итог:
Координаты четвертой вершины B равны (0; 2).
