Докажите тождество cos a/ 1+ sin a + tg a = 1/cos a

Конечно! Разобьём доказательство на шаги и подробно объясним каждое преобразование. Задача: Докажите тождество \[ \frac{\cos a}{1 + \sin a} + \tan a = \frac{1}{\cos a} \] --- ### Шаг 1: Записываем исходное выражение Обозначим: \[ L = \frac{\cos a}{1 + \sin a} + \tan a \] Цель: показать, что \(L = \frac{1}{\cos a}\). --- ### Шаг 2: Записываем \(\tan a\) через синус и косинус Используем определение: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \] Тогда выражение преобразуется в: \[ L = \frac{\cos a}{1 + \sin a} + \frac{\sin a}{\cos a} \] --- ### Шаг 3: Приведение к общему знаменателю Общий знаменатель — это произведение \(\cos a (1 + \sin a)\): \[ L = \frac{\cos^2 a}{(1 + \sin a) \cos a} + \frac{\sin a (1 + \sin a)}{\cos a (1 + \sin a)} \] Перепишем: \[ L = \frac{\cos^2 a}{(1 + \sin a) \cos a} + \frac{\sin a (1 + \sin a)}{\cos a (1 + \sin a)} \] Общий знаменатель: \[ D = (1 + \sin a) \cos a \] Теперь переносим оба слагаемых на один знаменатель: \[ L = \frac{\cos^2 a + \sin a (1 + \sin a)}{(1 + \sin a) \cos a} \] --- ### Шаг 4: Раскрываем и упрощаем числитель Раскроем скобки в числителе: \[ \cos^2 a + \sin a + \sin^2 a \] Заметим, что \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), по тригонометрической тождественности: \[ \text{Числитель} = 1 + \sin a \] --- ### Шаг 5: Итоговое выражение Подставляем обратно: \[ L = \frac{1 + \sin a}{(1 + \sin a) \cos a} \] При условии, что \(1 + \sin a \neq 0\): \[ L = \frac{1}{\cos a} \] А именно, мы получили искомое: \[ \boxed{ \frac{\cos a}{1 + \sin a} + \tan a = \frac{1}{\cos a} } \] --- ### **Ответ:** Тождество верно, и доказательство завершено. Если нужно более подробное объяснение или есть вопросы — с удовольствием помогу!