Докажите тождество cos a/ 1+ sin a + tg a = 1/cos a
Конечно! Разобьём доказательство на шаги и подробно объясним каждое преобразование.
Задача: Докажите тождество
\[
\frac{\cos a}{1 + \sin a} + \tan a = \frac{1}{\cos a}
\]
Шаг 1: Записываем исходное выражение
Обозначим:
\[
L = \frac{\cos a}{1 + \sin a} + \tan a
\]
Цель: показать, что \(L = \frac{1}{\cos a}\).
Шаг 2: Записываем \(\tan a\) через синус и косинус
Используем определение:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}
\]
Тогда выражение преобразуется в: \[ L = \frac{\cos a}{1 + \sin a} + \frac{\sin a}{\cos a} \]
Шаг 3: Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель — это произведение \(\cos a (1 + \sin a)\):
\[ L = \frac{\cos^2 a}{(1 + \sin a) \cos a} + \frac{\sin a (1 + \sin a)}{\cos a (1 + \sin a)} \]
Перепишем:
\[
L = \frac{\cos^2 a}{(1 + \sin a) \cos a} + \frac{\sin a (1 + \sin a)}{\cos a (1 + \sin a)}
\]
Общий знаменатель:
\[
D = (1 + \sin a) \cos a
\]
Теперь переносим оба слагаемых на один знаменатель:
\[ L = \frac{\cos^2 a + \sin a (1 + \sin a)}{(1 + \sin a) \cos a} \]
Шаг 4: Раскрываем и упрощаем числитель
Раскроем скобки в числителе:
\[ \cos^2 a + \sin a + \sin^2 a \]
Заметим, что \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), по тригонометрической тождественности:
\[ \text{Числитель} = 1 + \sin a \]
Шаг 5: Итоговое выражение
Подставляем обратно:
\[ L = \frac{1 + \sin a}{(1 + \sin a) \cos a} \]
При условии, что \(1 + \sin a \neq 0\):
\[ L = \frac{1}{\cos a} \]
А именно, мы получили искомое:
\[ \boxed{ \frac{\cos a}{1 + \sin a} + \tan a = \frac{1}{\cos a} } \]
Ответ:
Тождество верно, и доказательство завершено.
Если нужно более подробное объяснение или есть вопросы — с удовольствием помогу!
