Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
Гипотенуза ( c = 53 \text{ см} )
Радиус вписанной окружности ( r = 10 \text{ см} )
Требуется найти:
Периметр треугольника ( P = a + b + c )
Шаг 1: Свойства прямоугольного треугольника
Обозначим стороны:
- Катеты: ( a ) и ( b )
- Гипотенуза: ( c )
Время вспомнить важные соотношения:
Теорема Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
Шаг 2: Используем формулу для радиуса вписанной окружности
Подставим известные значения:
[
10 = \frac{a + b - 53}{2}
]
Отсюда найдем сумму катетов:
[
a + b - 53 = 20
\quad \Rightarrow \quad a + b = 73
]
Шаг 3: Используем теорему Пифагора
Обозначим сумму катетов: ( S = a + b = 73 )
Также нам нужно найти ( a ) и ( b ) по отдельности, но сначала попробуем выразить их через ( S ) и разность ( d = a - b ).
Используем систему:
[
a + b = 73
]
[
a^2 + b^2 = c^2 = 53^2 = 2809
]
Выразим ( a^2 + b^2 ) через суммы и разность:
[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
]
Но для этого нам нужно найти ( ab ).
Также, выразим ( a ) и ( b ) через ( S ) и ( d ):
[
a = \frac{S + d}{2}
]
[
b = \frac{S - d}{2}
]
Тогда:
[
a^2 + b^2 = \left( \frac{S + d}{2} \right)^2 + \left( \frac{S - d}{2} \right)^2
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + b^2 = \frac{(S + d)^2 + (S - d)^2}{4}
]
[
= \frac{S^2 + 2Sd + d^2 + S^2 - 2Sd + d^2}{4} = \frac{2S^2 + 2d^2}{4} = \frac{S^2 + d^2}{2}
]
Также известно:
[
a^2 + b^2 = 2809
]
Подставляем:
[
\frac{S^2 + d^2}{2} = 2809
]
[
S^2 + d^2 = 5618
]
Известно, что ( S = 73 ), тогда:
[
(73)^2 + d^2 = 5618
]
[
5329 + d^2 = 5618
]
[
d^2 = 5618 - 5329 = 289
]
Следовательно,
[
d = \pm 17
]
Шаг 4: Найдём ( a ) и ( b )
Если ( d = 17 ), то:
[
a = \frac{S + d}{2} = \frac{73 + 17}{2} = \frac{90}{2} = 45
]
[
b = \frac{S - d}{2} = \frac{73 - 17}{2} = \frac{56}{2} = 28
]
Если ( d = -17 ):
[
a = \frac{73 - 17}{2} = 28
]
[
b = \frac{73 + 17}{2} = 45
]
Итак, стороны катетов — это либо ((45, 28)), либо ((28, 45)). Оба варианта одинаковы, только порядок.
Ответ:
Периметр треугольника:
[
P = a + b + c = 45 + 28 + 53 = 126 \text{ см}
]
Итог:
Периметр прямоугольного треугольника равен (\boxed{126}) см.
