Определи, чему равен периметр прямоугольного треугольника, если гипотенуза этого треугольника равна 53 см, а радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 10 см.
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
Гипотенуза \( c = 53 \text{ см} \)
Радиус вписанной окружности \( r = 10 \text{ см} \)
Требуется найти:
Периметр треугольника \( P = a + b + c \)
Шаг 1: Свойства прямоугольного треугольника
Обозначим стороны:
- Катеты: \( a \) и \( b \)
- Гипотенуза: \( c \)
Время вспомнить важные соотношения:
Теорема Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
Шаг 2: Используем формулу для радиуса вписанной окружности
Подставим известные значения:
\[
10 = \frac{a + b - 53}{2}
\]
Отсюда найдем сумму катетов:
\[
a + b - 53 = 20
\quad \Rightarrow \quad a + b = 73
\]
Шаг 3: Используем теорему Пифагора
Обозначим сумму катетов: \( S = a + b = 73 \)
Также нам нужно найти \( a \) и \( b \) по отдельности, но сначала попробуем выразить их через \( S \) и разность \( d = a - b \).
Используем систему:
\[ a + b = 73 \] \[ a^2 + b^2 = c^2 = 53^2 = 2809 \]
Выразим \( a^2 + b^2 \) через суммы и разность:
\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
\]
Но для этого нам нужно найти \( ab \).
Также, выразим \( a \) и \( b \) через \( S \) и \( d \):
\[ a = \frac{S + d}{2} \] \[ b = \frac{S - d}{2} \]
Тогда:
\[
a^2 + b^2 = \left( \frac{S + d}{2} \right)^2 + \left( \frac{S - d}{2} \right)^2
\]
Раскроем скобки:
\[
a^2 + b^2 = \frac{(S + d)^2 + (S - d)^2}{4}
\]
\[ = \frac{S^2 + 2Sd + d^2 + S^2 - 2Sd + d^2}{4} = \frac{2S^2 + 2d^2}{4} = \frac{S^2 + d^2}{2} \]
Также известно:
\[
a^2 + b^2 = 2809
\]
Подставляем:
\[
\frac{S^2 + d^2}{2} = 2809
\]
\[
S^2 + d^2 = 5618
\]
Известно, что \( S = 73 \), тогда:
\[
(73)^2 + d^2 = 5618
\]
\[
5329 + d^2 = 5618
\]
\[
d^2 = 5618 - 5329 = 289
\]
Следовательно,
\[
d = \pm 17
\]
Шаг 4: Найдём \( a \) и \( b \)
Если \( d = 17 \), то:
\[ a = \frac{S + d}{2} = \frac{73 + 17}{2} = \frac{90}{2} = 45 \] \[ b = \frac{S - d}{2} = \frac{73 - 17}{2} = \frac{56}{2} = 28 \]
Если \( d = -17 \):
\[ a = \frac{73 - 17}{2} = 28 \] \[ b = \frac{73 + 17}{2} = 45 \]
Итак, стороны катетов — это либо \((45, 28)\), либо \((28, 45)\). Оба варианта одинаковы, только порядок.
Ответ:
Периметр треугольника:
\[ P = a + b + c = 45 + 28 + 53 = 126 \text{ см} \]
Итог:
Периметр прямоугольного треугольника равен \(\boxed{126}\) см.
