Давайте пошагово решим задачу.
Имеются функции (f(x)) и (g(x)) с определенными свойствами:
- (f(x)) — четная функция, и даны значения:
[
f(1) = 3, \quad f(-3) = -1.
]
- (g(x)) — нечетная функция, и даны значения:
[
g(7) = 3, \quad g(-1) = -2.
]
Нам нужно найти значение выражения:
[
\left[ f(-1) - 2g(-7) + g(1) \right] \cdot 5f(3).
]
Шаг 1: Определим (f(-1))
Так как (f(x)) — четная функция, то:
[
f(-x) = f(x).
]
Значит:
[
f(-1) = f(1) = 3.
]
Шаг 2: Определим (g(-7))
(g(x)) — нечетная функция, то есть:
[
g(-x) = -g(x).
]
Известно, что (g(7) = 3), следовательно:
[
g(-7) = -g(7) = -3.
]
Шаг 3: Определим (g(1))
Известно (g(-1) = -2), и так как (g) — нечетная:
[
g(1) = -g(-1) = -(-2) = 2.
]
Шаг 4: Подставляем найденные значения в выражение:
[
f(-1) = 3, \quad g(-7) = -3, \quad g(1) = 2.
]
Подставляем:
[
\left[ 3 - 2 \times (-3) + 2 \right] \cdot 5f(3).
]
Посчитаем внутри скобок:
[
3 - 2 \times (-3) + 2 = 3 + 6 + 2 = 11.
]
Теперь найдём (f(3)). Известно (f(1) = 3), и (f(x)) — четная, то есть:
[
f(3) = f(-3) = -1.
]
Шаг 5: Собираем всё вместе:
[
\boxed{
11 \times 5 \times (-1) = 11 \times (-5) = -55.
}
]
Ответ: (\boxed{-55}).
