Функция f(x) - четная и f(1) = 3, f(-3) = -1. Функция g(x) - нечетная и g(7) = 3, g (-1) = -2. Найдите значение выражения [f(-1) - 2g(-7) + g(1)] • 5f(3).
Давайте пошагово решим задачу.
Имеются функции \(f(x)\) и \(g(x)\) с определенными свойствами:
- \(f(x)\) — четная функция, и даны значения: \[ f(1) = 3, \quad f(-3) = -1. \]
- \(g(x)\) — нечетная функция, и даны значения: \[ g(7) = 3, \quad g(-1) = -2. \]
Нам нужно найти значение выражения: \[ \left[ f(-1) - 2g(-7) + g(1) \right] \cdot 5f(3). \]
Шаг 1: Определим \(f(-1)\)
Так как \(f(x)\) — четная функция, то: \[ f(-x) = f(x). \]
Значит: \[ f(-1) = f(1) = 3. \]
Шаг 2: Определим \(g(-7)\)
\(g(x)\) — нечетная функция, то есть: \[ g(-x) = -g(x). \]
Известно, что \(g(7) = 3\), следовательно: \[ g(-7) = -g(7) = -3. \]
Шаг 3: Определим \(g(1)\)
Известно \(g(-1) = -2\), и так как \(g\) — нечетная: \[ g(1) = -g(-1) = -(-2) = 2. \]
Шаг 4: Подставляем найденные значения в выражение:
\[ f(-1) = 3, \quad g(-7) = -3, \quad g(1) = 2. \]
Подставляем: \[ \left[ 3 - 2 \times (-3) + 2 \right] \cdot 5f(3). \]
Посчитаем внутри скобок: \[ 3 - 2 \times (-3) + 2 = 3 + 6 + 2 = 11. \]
Теперь найдём \(f(3)\). Известно \(f(1) = 3\), и \(f(x)\) — четная, то есть: \[ f(3) = f(-3) = -1. \]
Шаг 5: Собираем всё вместе:
\[ \boxed{ 11 \times 5 \times (-1) = 11 \times (-5) = -55. } \]
Ответ: \(\boxed{-55}\).
