Определи относительное число распавшихся ядер No-N/No радиоактивного элемента за время равное 0,3 периода полураспада(ответ округли до сотых)
Давайте разберемся с задачей по шагам.
Дано:
- Время, за которое нужно найти число распавшихся ядер: t = 0,3 периода полураспада (T₁/₂).
- Не указано, сколько ядер изначально (N₀). Будем предполагать, что есть начальное число ядер N₀, и ищем относительное число распавшихся ядер за это время.
Что требуется найти:
Количество распавшихся ядер за время t, деленное на исходное число ядер (то есть отношение). Обозначим это как:
\[ \frac{N_{\text{распавшихся}}}{N_0} \]
или
\[ \frac{N_0 - N(t)}{N_0} \]
где \( N(t) \) — число ядер, оставшихся после времени t.
Шаг 1: Закон распада радиоактивных ядер
Классическая формула радиоактивного распада:
\[
N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}
\]
где:
- \(N_0\) — начальное число ядер,
- \(N(t)\) — число ядер через время t,
- \(\lambda\) — постоянная распада,
- \(t\) — время.
Шаг 2: Связь периода полураспада с \(\lambda\)
Период полураспада T₁/₂ связан с \(\lambda\):
\[
T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}
\]
Отсюда:
\[
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}
\]
Шаг 3: Выражение \(N(t)\)
Подставим \(\lambda\):
\[
N(t) = N_0 \times e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}} \times t}
\]
Далее, подставим \(t = 0,3 T_{1/2}\):
\[ N(t) = N_0 \times e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}} \times 0,3 T_{1/2}} = N_0 \times e^{-0,3 \ln 2} \]
Шаг 4: Упростим выражение
Используя свойства экспоненты:
\[
e^{-a \ln b} = b^{-a}
\]
Получаем:
\[
N(t) = N_0 \times 2^{-0,3}
\]
Потому что \( e^{-\ln 2 \times 0,3} = 2^{-0,3} \).
Шаг 5: Найти отношение распавшихся ядер
Распавшиеся ядер:
\[
N_{\text{распавшихся}} = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 \times 2^{-0,3} = N_0 (1 - 2^{-0,3})
\]
Относительное число распавшихся:
\[
\frac{N_{\text{распавшихся}}}{N_0} = 1 - 2^{-0,3}
\]
Шаг 6: Вычислим значение \(2^{-0,3}\)
Исходя из того, что:
\[
2^{-0,3} = \frac{1}{2^{0,3}}
\]
Для приближенного вычисления:
\[
2^{0,3} \approx e^{0,3 \ln 2} \approx e^{0,3 \times 0,693} \approx e^{0,2079}
\]
Приблизительно:
\[
e^{0,2079} \approx 1 + 0,2079 + \frac{(0,2079)^2}{2} \approx 1 + 0,2079 + 0,0217 = 1,2293
\]
Тогда:
\[
2^{-0,3} \approx \frac{1}{1,2293} \approx 0,813
\]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Относительное число распавшихся ядер} \approx 1 - 0,813 = 0,187 } \]
Округляем до сотых: 0,19.
Итог:
За время равное 0,3 периода полураспада, примерно 0,19 (или 19%) ядер распадутся.
