Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Процент оставшихся ядер после распада: 70%
- Период полураспада (T₁/₂): 84 суток
Что нужно найти:
- Время распада (t), за которое останется 70% ядер.
Шаг 1: Определить, какое количество ядер осталось через время t
На выходе у нас 70% от начального количества. Это можно записать как:
[ N(t) = N_0 \times 0.70 ]
где (N_0) — начальное количество ядер.
Шаг 2: Использовать закон радиоактивного распада
Закон распада:
[ N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} ]
Подставим:
[ 0.70 N_0 = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{84}} ]
Нормируем уравнение:
[ 0.70 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{84}} ]
Шаг 3: Взять логарифм обеих частей уравнения
Используем натуральный логарифм:
[ \ln(0.70) = \ln \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{84}}\right) ]
По свойству логарифмов:
[ \ln(0.70) = \frac{t}{84} \times \ln \left(\frac{1}{2}\right) ]
Шаг 4: Решить уравнение относительно t
Значения логарифмов:
[ \ln(0.70) \approx -0.357 ]
[ \ln(0.5) = \ln \left(\frac{1}{2}\right) \approx -0.693 ]
Подставим:
[ -0.357 = \frac{t}{84} \times -0.693 ]
Перенесем и решим относительно t:
[ t = \frac{-0.357 \times 84}{-0.693} ]
Обратите внимание, что знаки сокращаются:
[ t = \frac{0.357 \times 84}{0.693} ]
Вычислим числитель:
[ 0.357 \times 84 \approx 30 ] (приблизительно)
Теперь делим:
[ t \approx \frac{30}{0.693} \approx 43.3 ]
Ответ:
Округляя до целых, получаем:
t ≈ 43 дня
Итог:
Через примерно 43 дня распадается 70% ядер радиоактивного изотопа Sc-46/21.
