найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции f(x)= 2x³-9x²+12x-8

Давайте решим задачу по поиску промежутков монотонности и точек экстремума функции \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8\).

Шаг 1. Найдём первую производную \(f'(x)\), которая показывает наклон касательной и помогает определить интервалы монотонности и экстремумы.

\(f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^3 - 9x^2 + 12x - 8)\)

Вычислим:

\[ f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 \]

Шаг 2. Анализируем знак первой производной. Для этого найдём её нули — точки потенциальных экстремумов и границы интервалов монотонности.

Решим уравнение:

\[ 6x^2 - 18x + 12 = 0 \]

Делим всё уравнение на 6 для удобства:

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

корни находятся по формуле:

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm 1}{2} \]

Получаем два корня:

• при "+": \(\displaystyle x = \frac{3 + 1}{2} = 2\)
• при "−": \(\displaystyle x = \frac{3 - 1}{2} = 1\)

Шаг 3. Чтобы определить интервалы монотонности, возьмём тестовые точки на промежутках, разделённых корнями: \((-\infty, 1), (1, 2), (2, +\infty)\).

Выберем, например, \(x=0\), \(x=1.5\), и \(x=3\).

• Для \(x=0\):

\[ f'(0) = 6 \cdot 0^2 - 18 \cdot 0 + 12 = 12 > 0 \]

Значит, \(f\) возрастает на интервале \((-\infty, 1)\).

• Для \(x=1.5\):

\[ f'(1.5) = 6 \cdot (1.5)^2 - 18 \cdot 1.5 + 12 = 6 \cdot 2.25 - 27 + 12 = 13.5 - 27 + 12 = -1.5 < 0 \]

Значит, \(f\) убывает на интервале \((1, 2)\).

• Для \(x=3\):

\[ f'(3) = 6 \cdot 9 - 18 \cdot 3 + 12 = 54 - 54 + 12 = 12 > 0 \]

Значит, \(f\) снова возрастает на интервале \((2, +\infty)\).

Шаг 4. Обобщим:

• \(f\) возрастает на интервалах \((-\infty, 1)\) и \((2, +\infty)\),
• убывает на интервале \((1, 2)\).

Шаг 5. Найдём точки экстремума. Они соответствуют нулям первой производной, где она меняет знак.

• В точке \(x=1\): \(f'(x)\) меняет знак с "+" (возрастание) на "−" (убывание), значит, это точка локального максимум.
• В точке \(x=2\): \(f'(x)\) меняет знак с "−" на "+" (убывание на {1,2} и возрастание после), значит, это локальный минимум.

Шаг 6. Найдём координаты этих точек:

• \(f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 8 = 2 - 9 + 12 - 8 = -3\)

• \(f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 8 = 2 \cdot 8 - 9 \cdot 4 + 24 - 8 = 16 - 36 + 24 - 8 = -4\)

Итог:

• Промежутки возрастания: \((-\infty, 1)\), \((2, +\infty)\)
• Промежуток убывания: \((1, 2)\)
• Точки экстремума:
  • Локальный максимум в \(x=1\), \(f(1) = -3\)
  • Локальный минимум в \(x=2\), \(f(2) = -4\)

Если нужно, могу помочь с графиком или более подробными объяснениями!