Давайте разберёмся с неравенством ( x^2 - 6x - 27 \geq 0 ).
Шаг 1: Решение уравнения ( x^2 - 6x - 27 = 0 )
Чтобы понять, где график функции ( y = x^2 - 6x - 27 ) находится выше или равен нулю, сначала найдём корни уравнения, при которых функция обращается в ноль.
Для этого используем дискриминантный метод:
[
D = b^2 - 4ac
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = -6 ), ( c = -27 ).
Подставим:
[
D = (-6)^2 - 4 \times 1 \times (-27) = 36 + 108 = 144
]
Дискриминант положителен (( D = 144 )), значит, уравнение имеет два вещественных корня.
Находим корни по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{6 \pm 12}{2}
]
- Для плюс:
[
x_1 = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9
]
- Для минус:
[
x_2 = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3
]
Шаг 2: Анализ знака квадратичной функции
Поскольку ( a = 1 > 0 ), парабола открыта вверх. Значит:
- На промежутках между корнями ( (-\infty, -3) ) и ( (9, +\infty) ), значение функции будет больше нуля или равно нулю (у точек-корней она равна нулю).
- На промежутке между корнями ( (-3, 9) ), значение функции будет отрицательным.
Шаг 3: Записываем решение неравенства
Так как мы ищем области, где функция ( x^2 - 6x - 27 \geq 0 ), ответ будет включать те ( x ), при которых значение равно нулю или больше.
Это:
[
(-\infty, -3] \cup [9, +\infty)
]
Ответ:
[
\boxed{
x \in (-\infty, -3] \cup [9, +\infty)
}
]
Графически: точки, где график функции пересекает ось Ox, — это ( x = -3 ) и ( x = 9 ). Глобально, область, где график лежит выше или на оси — это все точки слева от ( -3 ) и справа от ( 9 ).
Если есть изображение, то на нём будет видно, что множество решений — это области на графике, где график не опускается ниже оси Ox, что соответствует найденному решению.
