Реши 3,4
Розв'язуємо задачі 3 і 4 з алгебри.
Задача 3
Знайти відповідність між системами рівнянь (1–3) та їх першими компонентами розв’язків (x₀; y₀).
\[ \begin{cases} x - y = 3, \\ x + y = 5, \end{cases} \] відповідає варіанту: — В (4)
\[ \begin{cases} x + y = 7, \\ 3x - y = 5, \end{cases} \] відповідає варіанту: — Г (–2)
\[ \begin{cases} x - y = -4, \\ x + 2y = 5, \end{cases} \] відповідає варіанту: — Д (3)
Задача 4
Розвʼязати системи рівнянь способом додавання.
а)
\[ \begin{cases} 4x - 5y = 2, \\ 6x - 7y = -1. \end{cases} \]
Крок 1: Помножимо перше рівняння на 6, щоб зробити коефіцієнти при \(x\) однаковими.
\[ \begin{cases} 24x - 30y = 12, \\ 6x - 7y = -1. \end{cases} \]
Крок 2: Помножимо друге рівняння на 4:
\[ \begin{cases} 24x - 30y = 12, \\ 24x - 28y = -4. \end{cases} \]
Крок 3: Віднімемо друге рівняння від першого:
\[ (24x - 30y) - (24x - 28y) = 12 - (-4), \] \[ -2y = 16, \] \[ y = -8. \]
Крок 4: Підставимо знайдене \(y\) у будь-яке з початкових рівнянь, наприклад у перше:
\[ 4x - 5(-8) = 2, \] \[ 4x + 40 = 2, \] \[ 4x = 2 - 40 = -38, \] \[ x = -\frac{38}{4} = -\frac{19}{2} = -9.5. \]
Відповідь: \(\boxed{x = -\frac{19}{2},\ y = -8}\).
б)
\[ \begin{cases} \frac{m+1}{5} - \frac{3n - 5}{10} = -2, \\ \frac{m - 3}{6} + \frac{n - 9}{4} = 2.5. \end{cases} \]
Якщо потрібно розвʼязати цю систему, спершу представляємо її у вигляді звичайних рівнянь. Оскільки у задачі йдеться про змінні \(m\) і \(n\), позначимо їх.
Перетворимо перше рівняння:
\[ \frac{m+1}{5} - \frac{3n - 5}{10} = -2, \]
знайти спільний знаменник 10:
\[ \frac{2(m+1)}{10} - \frac{3n - 5}{10} = -2, \]
Обʼєднуємо:
\[ \frac{2(m+1) - (3n - 5)}{10} = -2, \]
Множимо обидві частини на 10:
\[ 2(m+1) - (3n - 5) = -20, \]
Розкриємо дужки:
\[ 2m + 2 - 3n + 5 = -20, \]
\[ 2m - 3n + 7 = -20, \]
Переносимо 7 до правої сторони:
\[ 2m - 3n = -27. \quad (1) \]
Перетворимо друге рівняння:
\[ \frac{m - 3}{6} + \frac{n - 9}{4} = 2.5, \]
спільний знаменник 12:
\[ \frac{2(m - 3)}{12} + \frac{3(n - 9)}{12} = 2.5, \]
Обʼєднуємо:
\[ \frac{2(m - 3) + 3(n - 9)}{12} = 2.5, \]
множимо обидві частини на 12:
\[ 2(m - 3) + 3(n - 9) = 30, \]
розкриємо дужки:
\[ 2m - 6 + 3n - 27 = 30, \]
складаємо:
\[ 2m + 3n - 33 = 30, \]
\[ 2m + 3n = 63. \quad (2) \]
Зустрічаємо систему:
\[ \begin{cases} 2m - 3n = -27, \\ 2m + 3n = 63. \end{cases} \]
Додамо рівняння:
\[ (2m - 3n) + (2m + 3n) = -27 + 63, \]
\[ 4m = 36, \] \[ m = 9. \]
Тепер знайдемо \(n\). підставимо \(m=9\) у будь-яке з рівнянь, наприклад у друге:
\[ 2(9) + 3n = 63, \] \[ 18 + 3n = 63, \] \[ 3n = 45, \] \[ n = 15. \]
Відповідь: \(\boxed{m=9,\ n=15}\).
Якщо потрібно, можу додатково пояснити будь-який крок.
