Решить задачи
Конечно! Вот подробное решение каждой задачи, начиная с первого пункта.
1. Постройте в одной системе координат графики функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = -0,5x + 4 \), и определите координаты точек их пересечения.
Решение:
Первая функция: \( y = \sqrt{x} \), определена на неотрицательном \( x \ge 0 \).
График — часть параболы-корня, начинающаяся в точке (0,0).Вторая функция: \( y = -0,5x + 4 \), это прямая со (-0,5) — коэффициентом наклона и сдвигом по оси y — 4.
Поиск точек пересечения:
Чтобы найти точки пересечения, приравним:
\[ \sqrt{x} = -0,5x + 4 \]
Преобразуем:
\[ \sqrt{x} + 0,5x - 4 = 0 \]
Пусть \( \sqrt{x} = t \), тогда \( x = t^2 \):
\[ t + 0,5 t^2 - 4 = 0 \]
Множим всю уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 2t + t^2 - 8 = 0 \]
или:
\[ t^2 + 2t - 8 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение:
\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \times 1 \times (-8)}}{2 \times 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \]
\[ t = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
Получаем два варианта:
- \( t = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( t = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
Так как \( t = \sqrt{x} \ge 0 \), то отрицательное значение игнорируем.
Следовательно, \( t = 2 \).
Теперь находим \( x \):
\[ x = t^2 = 4 \]
Проверка для \( y \):
\[ y = \sqrt{4} = 2 \]
или по уравнению прямой:
\[ y = -0,5 \times 4 + 4 = -2 + 4 = 2 \]
Итог: точка пересечения:
\[ \boxed{ (4, 2) } \]
2. Расположите числа 5; \(\sqrt{26}\); 4,7; \(\sqrt{23}\); 5,1 в порядке возрастания.
Посчитаем приблизительно:
- \( 5 \) — очевидно.
- \(\sqrt{26} \approx 5,10\) (так как \(5^2=25\), чуть больше 5).
- \( 4,7 \) — как есть.
- \(\sqrt{23} \approx 4,80\) (так как \(4,8^2=23,04\)).
- \( 5,1 \).
Порядок возрастания:
\[ 4,7;\quad \sqrt{23} \approx 4,80;\quad 5;\quad \sqrt{26} \approx 5,10;\quad 5,1 \]
4,7; \quad \sqrt{23} \approx 4,80; \quad 5; \quad 5,1; \quad \sqrt{26} \approx 5,10
Ответ:
\[ \boxed{ 4,7;\quad \sqrt{23};\quad 5;\quad 5,1;\quad \sqrt{26} } \]
3. Не внося построения графика функции \( y = \sqrt{x} \), определите, через какие из данных точек проходит этот график.
Рассмотрим каждую точку:
- \( A(9,3) \): \( y = 3 \), \( x=9 \), проверяем:
\[ \sqrt{9} = 3 \quad \Rightarrow \text{да, точка на графике} \]
\( B(25, -5) \): \( y = -5 \neq \sqrt{25} = 5 \), не подходит, так как \( y \) не совпадает, и \( y \) не может быть отрицательным в графике \( y = \sqrt{x} \).
\( C(0,16; 0,4) \): изменение координаты, уточним: скорее, это две точки или ошибка?
Вводит в заблуждение — скорее всего, точка \( C(0,16) \) — с \( x=0 \), \( y=16 \). Не на графике, потому что \( \sqrt{0} = 0 \neq 16 \).\( D(-64,8) \): \( x<0 \) — не определено для функции \( y=\sqrt{x} \), значит не на графике.
\( E(30.25, 5.5) \): \( \sqrt{30,25} \approx 5.5 \), так что эта точка на графике.
Итог:
Точки, через которые проходит график функции \( y = \sqrt{x} \):
\[ A(9,3) \quad \text{и} \quad E(30.25, 5.5) \]
4. Упростите выражения:
1) \( \sqrt{(5 - \sqrt{6})^2} \)
Поскольку подкоренное выражение — квадрат, то:
\[ \sqrt{(5 - \sqrt{6})^2} = |5 - \sqrt{6}| \]
Это абсолютное значение, в данном случае — \( 5 > \sqrt{6} \), так как \( \sqrt{6} \approx 2,45 \):
\[ |5 - 2,45| = 5 - 2,45 = 2,55 \]
или оставляем как:
\[ \boxed{|5 - \sqrt{6}|} \]
2) \( \sqrt{(\sqrt{5} - 6)^2} \)
Аналогично:
\[ |\sqrt{5} - 6| = 6 - \sqrt{5}, \quad \text{поскольку} \ 6 > \sqrt{5} \approx 2,24 \]
Итак, выражение упрощается до:
\[ 6 - \sqrt{5} \]
3) \( \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{6})^2} \)
Выражение — абсолютное значение:
\[ |\sqrt{5} - \sqrt{6}| \]
Поскольку \( \sqrt{6} > \sqrt{5} \):
\[ \sqrt{6} - \sqrt{5} \]
4) \( \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} \)
Первое:
\[ |\sqrt{5} - \sqrt{7}| \] Поскольку \( \sqrt{7} > \sqrt{5} \):
\[ \sqrt{7} - \sqrt{5} \]
Второе:
\[ |1 - \sqrt{7}| = \sqrt{7} - 1 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \sqrt{7} - \sqrt{5} + \sqrt{7} - 1 } \]
или сумма:
\[ 2\sqrt{7} - \sqrt{5} - 1 \]
Если нужно более конкретное объяснение или помощь с каким-то пунктом — скажи!
