Исследуйте функцию и постройте её график f(x) =3x2-x3

Для исследования функции \( f(x) = 3x^2 - x^3 \) и построения её графика выполните следующие шаги: ### 1. Общие сведения о функции Это полиномиальная функция третьего порядка (степени 3), которая может иметь максимум, минимум и точки перегиба. --- ### 2. Найти область определения Область определения всех полиномиальных функций — это все реальные числа: \[ D: \mathbb{R} \] --- ### 3. НАЙДИТЕ критические точки (точки возможного экстремума) Критические точки — это те значения \(x\), для которых производная равна нулю или не существует. **Шаг 1:** Найдите первую производную \(f'(x)\): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - x^3) = 6x - 3x^2 \] **Шаг 2:** Решите уравнение \(f'(x) = 0\): \[ 6x - 3x^2 = 0 \\ 3x(2 - x) = 0 \] Отсюда получаем критические точки: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \] --- ### 4. Определение характера критических точек (экстремумы или точки перегиба) **Шаг 1:** Найдите вторую производную \(f''(x)\): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x - 3x^2) = 6 - 6x \] **Шаг 2:** Исследуйте знак \(f''(x)\): - В точке \(x=0\): \[ f''(0) = 6 - 6*0 = 6 > 0 \] Значит, при \(x=0\) — **локальный минимум**. - В точке \(x=2\): \[ f''(2) = 6 - 6*2 = 6 - 12 = -6 < 0 \] Значит, при \(x=2\) — **локальный максимум**. --- ### 5. Найти значения функции в критических точках \[ f(0) = 3*0^2 - 0^3 = 0 \] \[ f(2) = 3*(2)^2 - (2)^3 = 3*4 - 8 = 12 - 8 = 4 \] **Итого:** - Локальный минимум: \( (0, 0) \) - Локальный максимум: \( (2, 4) \) --- ### 6. Анализ поведения функции на границах и в бесконечности - При \(x \to +\infty\), доминирует \( -x^3 \), и \(f(x) \to -\infty\). - При \(x \to -\infty\), доминирует \( -x^3 \), и \(f(x) \to +\infty\). --- ### 7. Построение графика (шаги) - Начертите ось координат. - Отметьте критические точки: - \( (0, 0) \) — минимум - \( (2, 4) \) — максимум - Укажите поведение функции на бесконечностях. - Проведите плавную кривую, входящую в максимум и исходящую из минимума, учитывая, что функция убывает после максимум и растет перед минимум. --- Если нужно, я могу дополнительно построить точный график или помочь с чертежом.