В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сечение BDD1B1-квадрате образует с сечением ACC1A1 угол 60 градусов . Диагональ параллелепипеда рана 2 корень2 . Найдите объем…

Давайте подробно разберем задачу и решим ее шаг за шагом.

Дано:

• Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
• В этом параллелепипеде есть сечения:
  • \( BDD_1B_1 \), которое является квадратом.
  • \( ACC_1A_1 \), образует с этим квадратом угол \( 60^\circ \).
• Диагональ параллелепипеда равна \( 2\sqrt{2} \).

Требуется:

• Найти объем параллелепипеда.

---

Шаг 1: Вводные обозначения и установка координат

Давайте выберем систему координат для удобства:

• Пусть основание \( ABCD \) лежит в плоскости \( z = 0 \):
  • \( A = (0, 0, 0) \)
  • \( B = (a, 0, 0) \)
  • \( C = (a, b, 0) \)
  • \( D = (0, b, 0) \)

Высота параллелепипеда — это координата по \( z \), значит:

• \( A_1 = (0, 0, h) \)
• \( B_1 = (a, 0, h) \)
• \( C_1 = (a, b, h) \)
• \( D_1 = (0, b, h) \)

Объем параллелепипеда: \( V = a \times b \times h \).

---

Шаг 2: Условие о квадрате \( BDD_1B_1 \)

Рассмотрим точку \( D \):

• \( D = (0, b, 0) \)

Точка \( D_1 \):

• \( D_1 = (0, b, h) \)

Точка \( B \):

• \( B = (a, 0, 0) \)

Точка \( B_1 \):

• \( B_1 = (a, 0, h) \)

---

Проверка квадрата \( BDD_1B_1 \):

• Векторы:
  • \( \overrightarrow{BD} = D - B = (0 - a, b - 0, 0 - 0) = (-a, b, 0) \)
  • \( \overrightarrow{BD_1} = D_1 - B = (0 - a, b - 0, h - 0) = (-a, b, h) \)

Так как \( BDD_1B_1 \) — квадрат, стороны \( \overrightarrow{BD} \) и \( \overrightarrow{BD_1} \) должны быть равны по длине и перпендикулярны.

Длина \( BD \):

\[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Длина \( BD_1 \):

\[ |\overrightarrow{BD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \]

Для квадрата стороны \( BD \) и \( BD_1 \) должны быть равны:

\[ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \]

Это возможно только если \( h^2 = 0 \), что невозможно, так как высота не нулевая. Тогда, вероятно, речь идет о другой стороне квадрата: посмотрим на соединения \( B \) и \( D_1 \), а также \( D \) и \( B_1 \).

Рассматриваем стороны квадрата ** B D D_1 B_1 **:

• Векторы:

\[ \overrightarrow{BD} = (-a, b, 0) \] \[ \overrightarrow{B D_1} = (-a, b, h) \] \[ \overrightarrow{D D_1} = (0, 0, h) \] \[ \overrightarrow{B_1 D_1} = (a, 0, 0) \]

Поскольку речь идет о квадрате \( B D D_1 B_1 \), все стороны должны быть равны, и соседние стороны — перпендикулярны.

Проверим длины:

• \( |BD| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• \( |D D_1| = h \)

Если \( B D D_1 B_1 \) — квадрат, то стороны:

\[ |BD| = |D D_1| \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2} = h \]

Также, стороны \( B D \) и \( D D_1 \) перпендикулярны (их векторы), проверим скалярное произведение:

\[ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{D D_1} = (-a, b, 0) \cdot (0, 0, h) = 0 \]

Выполнено — значит, эти стороны перпендикулярны.

Аналогично, сторона \( B_1 D_1 \):

\[ |B_1 D_1| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

и она должна быть равна \( h \).

Итак, из условий квадратности имеем:

\[ h = \sqrt{a^2 + b^2} \] (так как стороны квадрата равны). Это важное уравнение.

---

Шаг 3: Условие о угле между сечениями \( B C C_1 A_1 \) и \( B D D_1 B_1 \)

Дано, что угол между сечением \( ACC_1A_1 \) и сечением \( B D D_1 B_1 \) равен 60°.

Рассмотрим эти сечения.

Сечение \( ACC_1A_1 \):

• В плоскости, содержащей точки \( A(0, 0, 0) \), \( C(a, b, 0) \), \( C_1(a, b, h) \), \( A_1(0, 0, h) \).

Это многоугольник или фигура, но для угла между сечениями важны направления этих сечений, т.е. векторные признаковые линии.

---

Шаг 4: Определение нормальных векторов сечений

Рассчитаем векторы, определяющие направления сечений:

• Для сечения \( B D D_1 B_1 \), вектор:

\[ \overrightarrow{BD} = (-a, b, 0) \] (используем как направление).

• Для сечения \( A C C_1 A_1 \), например, выбираем сторону \( AC \):

\[ \overrightarrow{AC} = (a, b, 0) \] и сторону \( A C_1 \):

\[ \overrightarrow{A C_1} = (a, b, h) \]

Чтобы найти угол между этими сечениями — между их плоскостями — нужно найти нормальные векторы к этим плоскостям.

---

Шаг 5: Нормальные векторы плоскостей сечений

Плоскость \( B D D_1 B_1 \):

• Векторы \( \overrightarrow{BD} \) и \( \overrightarrow{B D_1} \):

\[ \overrightarrow{BD} = (-a, b, 0) \] \[ \overrightarrow{B D_1} = (-a, b, h) \]

Нормаль к этой плоскости — это вектор, при этом он равен их векторному произведению:

\[ \mathbf{n}_1 = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BD_1} \]

Вычислим:

\[ \mathbf{n}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & b & 0 \\ -a & b & h \\ \end{vmatrix} \]

Рассчитываем детерминант:

\[ \mathbf{n}_1 = \mathbf{i}(b \times h - 0 \times b) - \mathbf{j}(-a \times h - 0 \times -a) + \mathbf{k}(-a \times b - b \times -a) \]

\[ = \mathbf{i}(b h) - \mathbf{j}(-a h) + \mathbf{k}(-a b + a b) \]

\[ = \mathbf{i}(b h) + \mathbf{j}(a h) + \mathbf{k}(0) \]

Нормаль к первому сечению:

\[ \mathbf{n}_1 = (b h, a h, 0) \]

Аналогично для плоскости \( A C C_1 A_1 \):

• Векторы:

\[ \overrightarrow{AC} = (a, b, 0) \] \[ \overrightarrow{A C_1} = (a, b, h) \]

Нормаль к этой плоскости:

\[ \mathbf{n}_2 = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{A C_1} \]

Вычисляем:

\[ \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & b & 0 \\ a & b & h \\ \end{vmatrix} \]

\[ = \mathbf{i}(b \times h - 0 \times b) - \mathbf{j}(a \times h - 0 \times a) + \mathbf{k}(a \times b - b \times a) \]

\[ = \mathbf{i}(b h) - \mathbf{j}(a h) + \mathbf{k}(a b - a b) = (b h, -a h, 0) \]

---

Шаг 6: Нахождение угла между плоскостями

Угол между плоскостями — угол между их нормальными векторами:

\[ \cos 60^\circ = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|} \]

Вычислим скалярное произведение:

\[ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = (b h, a h, 0) \cdot (b h, -a h, 0) = b h \times b h + a h \times (-a h) + 0 \]

\[ = b^2 h^2 - a^2 h^2 = h^2 (b^2 - a^2) \]

Длина векторов:

\[ |\mathbf{n}_1| = \sqrt{(b h)^2 + (a h)^2} = h \sqrt{b^2 + a^2} \]

\[ |\mathbf{n}_2| = \sqrt{(b h)^2 + (-a h)^2} = h \sqrt{b^2 + a^2} \]

Тогда:

\[ \cos 60^\circ = \frac{h^2 (b^2 - a^2)}{h \sqrt{b^2 + a^2} \times h \sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{h^2 (b^2 - a^2)}{h^2 (b^2 + a^2)} = \frac{b^2 - a^2}{b^2 + a^2} \]

Значит:

\[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = \frac{b^2 - a^2}{b^2 + a^2} \]

Отсюда:

\[ \frac{b^2 - a^2}{b^2 + a^2} = \frac{1}{2} \]

Перемножим:

\[ 2(b^2 - a^2) = b^2 + a^2 \] \[ 2b^2 - 2a^2 = b^2 + a^2 \] \[ 2b^2 - b^2 = 2a^2 + a^2 \] \[ b^2 = 3 a^2 \] или

\[ b^2 = 3a^2 \]

Это важное соотношение между \( a \) и \( b \):

\[ b = \sqrt{3} a \]

---

Шаг 7: Использование условия о диагонали

Диагональ параллелепипеда равна \( 2 \sqrt{2} \).

Диагональ \( D_{diag} \):

\[ D_{diag} = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \]

Так как:

\[ b^2 = 3a^2 \]

Подставим:

\[ D_{diag}^2 = a^2 + 3a^2 + h^2 = 4a^2 + h^2 \]

Дано:

\[ D_{diag} = 2 \sqrt{2} \Rightarrow D_{diag}^2 = 8 \]

Следовательно:

\[ 8 = 4a^2 + h^2 \]

Но из уравнения квадрата:

\[ h^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 3a^2 = 4 a^2 \]

Подставим \( h^2 = 4a^2 \) в последнее уравнение:

\[ 8 = 4a^2 + 4a^2 = 8 a^2 \]

Отсюда:

\[ a^2 = 1 \]

Следовательно:

\[ a = 1 \] \[ b = \sqrt{3} \times 1 = \sqrt{3} \] \[ h^2 = 4 a^2 = 4 \Rightarrow h = 2 \]

---

Ответ:

Объем параллелепипеда:

\[ V = a \times b \times h = 1 \times \sqrt{3} \times 2 = 2 \sqrt{3} \]

---

Итог:

Объем параллелепипеда равен \(\boxed{2 \sqrt{3}}\).