Дан некоторый набор чисел.определи чему равно стандартное отклонение этого набора , если средний квадрат значений равен 148, а среднее арифметическое равно 12
Давайте пошагово разберем задачу:
Дан набор чисел. Средний квадрат значений равен 148, а среднее арифметическое равно 12. Нужно найти стандартное отклонение этого набора.
Обозначения:
- Пусть набор чисел: \( x_1, x_2, \dots, x_n \).
- \( \bar{x} \) — среднее арифметическое.
- \( \text{MS} \) — средний квадрат значений (то есть математическое ожидание квадрата): \( \text{MS} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 \).
- \( \sigma \) — стандартное отклонение.
Шаг 1: Используем заданные параметры
Дано:
- \( \text{MS} = 148 \), то есть
\[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 = 148 \]
- \( \bar{x} = 12 \), то есть
\[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = 12 \]
Шаг 2: Связь между средним квадратичным значением, дисперсией и средним арифметическим
Для набора чисел известна формула:
\[ \text{MS} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 \]
А также, дисперсия:
\[ D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \]
и связана с средним квадратичным значением следующим соотношением:
\[ \text{MS} = \text{Var}(x) + (\bar{x})^2 \]
где \( \text{Var}(x) = D \). А стандартное отклонение — это корень из дисперсии:
\[ \sigma = \sqrt{D} \]
Следовательно,
\[ \text{MS} = \sigma^2 + (\bar{x})^2 \]
Шаг 3: Подставим известные значения
\[ 148 = \sigma^2 + (12)^2 \]
\[ 148 = \sigma^2 + 144 \]
Ответ:
\[ \sigma^2 = 148 - 144 = 4 \]
Шаг 4: Найти стандартное отклонение
\[ \sigma = \sqrt{4} = 2 \]
Итог:
Стандартное отклонение набора равно \(\boxed{2}\).
Если нужны дополнительные объяснения или примеры — обращайтесь!
