Давайте пошагово разберем задачу:
Дан набор чисел. Средний квадрат значений равен 148, а среднее арифметическое равно 12. Нужно найти стандартное отклонение этого набора.
Обозначения:
- Пусть набор чисел: ( x_1, x_2, \dots, x_n ).
- ( \bar{x} ) — среднее арифметическое.
- ( \text{MS} ) — средний квадрат значений (то есть математическое ожидание квадрата): ( \text{MS} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 ).
- ( \sigma ) — стандартное отклонение.
Шаг 1: Используем заданные параметры
Дано:
- ( \text{MS} = 148 ), то есть
[
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 = 148
]
- ( \bar{x} = 12 ), то есть
[
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = 12
]
Шаг 2: Связь между средним квадратичным значением, дисперсией и средним арифметическим
Для набора чисел известна формула:
[
\text{MS} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2
]
А также, дисперсия:
[
D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
]
и связана с средним квадратичным значением следующим соотношением:
[
\text{MS} = \text{Var}(x) + (\bar{x})^2
]
где ( \text{Var}(x) = D ). А стандартное отклонение — это корень из дисперсии:
[
\sigma = \sqrt{D}
]
Следовательно,
[
\text{MS} = \sigma^2 + (\bar{x})^2
]
Шаг 3: Подставим известные значения
[
148 = \sigma^2 + (12)^2
]
[
148 = \sigma^2 + 144
]
Ответ:
[
\sigma^2 = 148 - 144 = 4
]
Шаг 4: Найти стандартное отклонение
[
\sigma = \sqrt{4} = 2
]
Итог:
Стандартное отклонение набора равно (\boxed{2}).
Если нужны дополнительные объяснения или примеры — обращайтесь!
