Решить контрольную работу
Конечно! Вот подробное решение каждого задания из контрольной работы:
Задача 1
Построить график функции \(f(x) = x^2 - 6x\).
Найти:
- Область определения.
- Промежуток убывания.
- Множество решений неравенства \(f(x) > -8\).
Решение:
Область определения:
Функция \(f(x) = x^2 - 6x\) — это квадратное уравнение, определённое при всех действительных \(x\).
Ответ: \(\mathbb{R}\).Построение графика:
Вычислим вершину параболы — так как функция квадратичная, график — это парабола, отвернутая вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный).
Вершина: \(x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\).
\(f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9\).
График симметричен относительно вертикальной прямой \(x=3\).Промежуток убывания:
Парабола убывает на промежутке слева от вершины: \((-\infty, 3)\). Также, убывание — это интервал, на котором функция снижается.
Ответ: \(f(x)\) убывает на \((-\infty, 3)\).Решение неравенства \(f(x) > -8\):
Заменим: \(x^2 - 6x > -8\).
Перенесем все в левую часть: \(x^2 - 6x + 8 > 0\).
Найдем корни уравнения \(x^2 - 6x + 8 = 0\):
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4, \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} = \{2, 4\}. \]
Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, график — это парабола, открытая вверх. Значит, неравенство \(x^2 - 6x +8 > 0\) выполняется для \(x < 2\) или \(x > 4\).
Ответ: \(\boxed{(-\infty, 2) \cup (4, \infty)}\).
Задача 2
Решить неравенство: \(\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 5x + 6} \leq 0\).
Решение:
Найдем нули числителя:
\(x^2 + 4x + 3 = 0\).
Дискриминант: \(\Delta = 16 - 12 = 4\).
Корни:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}.\]
Получаем \(x = -1\) и \(x = -3\).Найдем нули знаменателя:
\(x^2 - 5x + 6 = 0\).
Дискриминант: \(\Delta = 25 - 24 = 1\).
Корни:
\[ x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x= 2, \, 3. \]
Область определения: все \(x\), кроме точек \(x=2,3\).
Время построения знака:
Разделим числовую ось на интервалы, определенные критическими точками: \(-3, -1, 2, 3\).Проверим знак на интервалах:
| Интервал | Проверка знака \(\frac{X}{Y}\) |
|---|---|
| \((-\infty, -3)\) | Например, \(x=-4\): |
| \[ \frac{(16 - 16 + 3)}{(16 + 20 + 6)} = \frac{3}{42} > 0 \] |
| \(( -3, -1)\) | \(x = -2\): \[ \frac{(4 - 8 + 3)}{(4 + 10 + 6)} = \frac{-1}{20} < 0 \]
| \((-1, 2)\) | \(x=0\): \[ \frac{(0 + 0 + 3)}{(0 - 0 + 6)} = \frac{3}{6} > 0 \]
| \((2, 3)\) | \(x=2.5\): \[ \frac{(6.25 + 10 + 3)}{(6.25 - 12.5 + 6)} = \frac{19.25}{-0.25} < 0 \]
| \((3, \infty)\) | \(x=4\): \[ \frac{(16 + 16 + 3)}{(16 - 20 + 6)} = \frac{35}{2} > 0 \]
Знаки на краях интервалов:
при \(x=-3\): числитель=0, значит дробь=0, подходит для \(\leq 0\), включительно.
при \(x=-1\): числитель=0, дробь=0, подходит.
при \(x=2\) и \(x=3\): знаменатель=0, недопустимо.
Ответ:
\[
\boxed{
[-3, -1] \cup (2, 3)
}
\]
Задача 3
Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 - xy = -8, \\
y^2 - xy = 24.
\end{cases}
\]
Решение:
- Вычтем уравнения:
\[ (x^2 - xy) - (y^2 - xy) = -8 - 24, \]
\[ x^2 - y^2 = -32. \]
Факторизуем:
\[ (x-y)(x+y) = -32. \]Обозначим: \(S = x + y\) и \(D = x - y\):
\[ D \cdot S = -32. \]
- Также выразим \(x\) и \(y\):
Из первого уравнения:
\[ x^2 - xy = -8, \]
или
\[ x^2 - xy + 8 = 0. \]
Выразим \(y\) через \(x\):
\[ x^2 - xy = -8 \Rightarrow y = \frac{x^2 + 8}{x} \quad \text{(при }x \neq 0\text{)}. \]
Но проще — попробуем избавиться от обеих переменных.
- Кандидат на решение — выразить \(x\) через \(y\). Из первого уравнения:
\[ x^2 - xy = -8, \]
аналогично, из второго:
\[ y^2 - xy = 24. \]
Вычитая, получим:
\[ x^2 - y^2 = -8 - 24 = -32, \]
как и ранее.
- Заменим \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = -32\).
Поскольку \(x + y = S\), \(x - y = D\), получаем:
\[ D \cdot S = -32. \]
Также из уравнений:
\[ x = \frac{S + D}{2}, \quad y = \frac{S - D}{2}. \]
Подставим в первое уравнение:
\[ x^2 - xy = -8, \]
подставляя выражения:
\[ \left(\frac{S + D}{2}\right)^2 - \left(\frac{S + D}{2}\right) \left(\frac{S - D}{2}\right) = -8. \]
Обозначим:
\[
x = \frac{S + D}{2}, \quad y = \frac{S - D}{2}.
\]
Тогда, (xy = \frac{(S + D)(S - D)}{4} = \frac{S^2 - D^2}{
