Решить контрольную работу
Ответ нейросети
19 мая 2025 18:03
Конечно! Вот подробное решение каждого задания из контрольной работы:
Задача 1
Построить график функции (f(x) = x^2 - 6x).
Найти:
- Область определения.
- Промежуток убывания.
- Множество решений неравенства (f(x) > -8).
Решение:
Область определения:
Функция (f(x) = x^2 - 6x) — это квадратное уравнение, определённое при всех действительных (x).
Ответ: (\mathbb{R}).Построение графика:
Вычислим вершину параболы — так как функция квадратичная, график — это парабола, отвернутая вверх (коэффициент при (x^2) положительный).
Вершина: (x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3).
(f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9).
График симметричен относительно вертикальной прямой (x=3).Промежуток убывания:
Парабола убывает на промежутке слева от вершины: ((-\infty, 3)). Также, убывание — это интервал, на котором функция снижается.
Ответ: (f(x)) убывает на ((-\infty, 3)).Решение неравенства (f(x) > -8):
Заменим: (x^2 - 6x > -8).
Перенесем все в левую часть: (x^2 - 6x + 8 > 0).
Найдем корни уравнения (x^2 - 6x + 8 = 0):
[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4, ]
[ x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} = {2, 4}. ]
Поскольку коэффициент при (x^2) положительный, график — это парабола, открытая вверх. Значит, неравенство (x^2 - 6x +8 > 0) выполняется для (x < 2) или (x > 4).
Ответ: (\boxed{(-\infty, 2) \cup (4, \infty)}).
Задача 2
Решить неравенство: (\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 5x + 6} \leq 0).
Решение:
Найдем нули числителя:
(x^2 + 4x + 3 = 0).
Дискриминант: (\Delta = 16 - 12 = 4).
Корни:
[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}.]
Получаем (x = -1) и (x = -3).Найдем нули знаменателя:
(x^2 - 5x + 6 = 0).
Дискриминант: (\Delta = 25 - 24 = 1).
Корни:
[ x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x= 2, , 3. ]
Область определения: все (x), кроме точек (x=2,3).
Время построения знака:
Разделим числовую ось на интервалы, определенные критическими точками: (-3, -1, 2, 3).Проверим знак на интервалах:
| Интервал | Проверка знака (\frac{X}{Y}) |
|---|---|
| ((-\infty, -3)) | Например, (x=-4): |
| [ | |
| \frac{(16 - 16 + 3)}{(16 + 20 + 6)} = \frac{3}{42} > 0 | |
| ] |
| (( -3, -1)) | (x = -2): [ \frac{(4 - 8 + 3)}{(4 + 10 + 6)} = \frac{-1}{20} < 0 ]
| ((-1, 2)) | (x=0): [ \frac{(0 + 0 + 3)}{(0 - 0 + 6)} = \frac{3}{6} > 0 ]
| ((2, 3)) | (x=2.5): [ \frac{(6.25 + 10 + 3)}{(6.25 - 12.5 + 6)} = \frac{19.25}{-0.25} < 0 ]
| ((3, \infty)) | (x=4): [ \frac{(16 + 16 + 3)}{(16 - 20 + 6)} = \frac{35}{2} > 0 ]
Знаки на краях интервалов:
при (x=-3): числитель=0, значит дробь=0, подходит для (\leq 0), включительно.
при (x=-1): числитель=0, дробь=0, подходит.
при (x=2) и (x=3): знаменатель=0, недопустимо.
Ответ:
[
\boxed{
[-3, -1] \cup (2, 3)
}
]
Задача 3
Решить систему уравнений:
[
\begin{cases}
x^2 - xy = -8, \
y^2 - xy = 24.
\end{cases}
]
Решение:
- Вычтем уравнения:
[ (x^2 - xy) - (y^2 - xy) = -8 - 24, ]
[ x^2 - y^2 = -32. ]
Факторизуем:
[ (x-y)(x+y) = -32. ]Обозначим: (S = x + y) и (D = x - y):
[ D \cdot S = -32. ]
- Также выразим (x) и (y):
Из первого уравнения:
[ x^2 - xy = -8, ]
или
[ x^2 - xy + 8 = 0. ]
Выразим (y) через (x):
[ x^2 - xy = -8 \Rightarrow y = \frac{x^2 + 8}{x} \quad \text{(при }x \neq 0\text{)}. ]
Но проще — попробуем избавиться от обеих переменных.
- Кандидат на решение — выразить (x) через (y). Из первого уравнения:
[ x^2 - xy = -8, ]
аналогично, из второго:
[ y^2 - xy = 24. ]
Вычитая, получим:
[ x^2 - y^2 = -8 - 24 = -32, ]
как и ранее.
- Заменим (x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = -32).
Поскольку (x + y = S), (x - y = D), получаем:
[ D \cdot S = -32. ]
Также из уравнений:
[ x = \frac{S + D}{2}, \quad y = \frac{S - D}{2}. ]
Подставим в первое уравнение:
[ x^2 - xy = -8, ]
подставляя выражения:
[ \left(\frac{S + D}{2}\right)^2 - \left(\frac{S + D}{2}\right) \left(\frac{S - D}{2}\right) = -8. ]
Обозначим:
[
x = \frac{S + D}{2}, \quad y = \frac{S - D}{2}.
]
Тогда, (xy = \frac{(S + D)(S - D)}{4} = \frac{S^2 - D^2}{
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
