отметьте на координатной плоскости точки М(-4;2), N(5;4), К(-9;3), D(-6;-8) найди координаты точки пересечения прямой MN и отрезка KD
Для решения задачи нужно найти точку пересечения прямой, проходящей через точки M(-4; 2) и N(5; 4), и отрезка KD, где K(-9; 3) и D(-6; -8).
Пошаговый разбор:
Шаг 1: Найти уравнение прямой MN
- Вычислим коэффиценты наклона (k):
\[ k_{MN} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{5 - (-4)} = \frac{2}{9} \]
- Запишем уравнение прямой в форме:
\[ y - y_1 = k (x - x_1) \]
Подставим точку M(-4; 2):
\[ y - 2 = \frac{2}{9} (x + 4) \]
Раскроем скобки:
\[ y - 2 = \frac{2}{9}x + \frac{8}{9} \]
Добавим 2 к обеим частям (учитывая, что 2 = \(\frac{18}{9}\)):
\[ y = \frac{2}{9}x + \frac{8}{9} + \frac{18}{9} = \frac{2}{9}x + \frac{26}{9} \]
Итак, уравнение прямой MN:
\[ y = \frac{2}{9}x + \frac{26}{9} \]
Шаг 2: Проверить отрезок KD
Координаты точек K(-9, 3) и D(-6, -8).
- Определим уравнение отрезка KD:
- Найдём наклон:
\[ k_{KD} = \frac{-8 - 3}{-6 - (-9)} = \frac{-11}{3} \]
- Общее уравнение отрезка (в виде уравнения прямой):
Используем точку K(-9; 3):
\[ y - 3 = -\frac{11}{3}(x + 9) \]
Раскроем скобки:
\[ y - 3 = -\frac{11}{3}x - 33 \]
Добавим 3 к обеим частям:
\[ y = -\frac{11}{3}x - 33 + 3 = -\frac{11}{3}x - 30 \]
Итак, уравнение отрезка KD:
\[ y = -\frac{11}{3}x - 30 \]
Шаг 3: Найти точку пересечения двух линий
Заменим выражения для \( y \):
\[ \frac{2}{9}x + \frac{26}{9} = -\frac{11}{3}x - 30 \]
Объединим и приведём к общему знаменателю (на 9):
\[ \frac{2}{9}x + \frac{26}{9} = -\frac{11}{3}x - 30 \]
Перепишем правую часть с общим знаменателем:
\[ -\frac{11}{3}x = -\frac{33}{9}x \] \[ -30 = -\frac{270}{9} \]
Теперь уравнение:
\[ \frac{2}{9}x + \frac{26}{9} = -\frac{33}{9}x - \frac{270}{9} \]
Умножим всё на 9, чтобы избавиться от дробей:
\[ 2x + 26 = -33x - 270 \]
Переносим все переменные в левую часть:
\[ 2x + 33x = -270 - 26 \]
\[ 35x = -296 \]
Значит,
\[ x = -\frac{296}{35} \approx -8{,}457 \]
Подставим \( x \) обратно в уравнение прямой MN:
\[ y = \frac{2}{9} \left(-\frac{296}{35}\right) + \frac{26}{9} \]
Вычислим:
\[ \frac{2}{9} \times -\frac{296}{35} = - \frac{592}{315} \]
Далее:
\[ y = -\frac{592}{315} + \frac{26}{9} \]
Приведем обе к общему знаменателю (315):
\[ \frac{26}{9} = \frac{26 \times 35}{9 \times 35} = \frac{910}{315} \]
Теперь сложим:
\[ y = -\frac{592}{315} + \frac{910}{315} = \frac{318}{315} = \frac{106}{105} \approx 1{,}01 \]
Итог:
Координаты точки пересечения:
\[ \boxed{ \left( -\frac{296}{35}, \frac{106}{105} \right) } \]
или приблизительно:
\[ (-8{,}457; 1{,}01) \]
Если нужно, могу помочь проверить, лежит ли эта точка на отрезке KD (на предмет её нахождения внутри его границ).
