найдите вероятность благоприятного события, благоприятствующего выпадению 3 или 5 очков ровно 3 раза при четырехкратном подбрасывании игральной кости

Давайте подробно разберем задачу:
Нужно найти вероятность того, что при четырехподбрасываниях игральной кости ровно три раза выпадают 3 или 5 очков.

Шаг 1. Определим вероятность «успеха» в одном броске.
На игральной кости шесть граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Нас интересуют события, когда выпадают 3 или 5, т.е.:

• Вероятность выпадения 3: \( P(3) = \frac{1}{6} \)
• Вероятность выпадения 5: \( P(5) = \frac{1}{6} \)

Объединенная вероятность того, что выпадет 3 или 5: \[ P(\text{успех}) = P(3) + P(5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Вероятность того, что выпадет что-то другое (не 3 и не 5): \[ P(\text{не успех}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Шаг 2. Определение задачи — задачу биномиального распределения.
Нам нужно, чтобы из 4 бросков ровно 3 раза выпало 3 или 5 (успех), а один раз — другое значение.

Вероятность ровно \(k=3\) успехов в \(n=4\) испытаниях:

\[ P = C^n_k \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( C^n_k \) — число сочетаний: «сколько способов выбрать 3 успеха из 4»
• \( p = \frac{1}{3} \)

Шаг 3. Вычислим число сочетаний:
\[ C^4_3 = \frac{4!}{3! \times (4-3)!} = 4 \]

Шаг 4. Подставим значения в формулу:
\[ P = C^4_3 \times p^3 \times (1-p)^1 \]

\[ P = 4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^1 \]

Шаг 5. Вычислим это:
\[ P = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} \]

\[ P = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} = 4 \times \frac{2}{81} = \frac{8}{81} \]

Ответ:
Вероятность того, что ровно 3 раза из 4 при бросках выпадут 3 или 5, равна \(\frac{8}{81}\).