Давайте подробно разберем задачу:
Нужно найти вероятность того, что при четырехподбрасываниях игральной кости ровно три раза выпадают 3 или 5 очков.
Шаг 1. Определим вероятность «успеха» в одном броске.
На игральной кости шесть граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Нас интересуют события, когда выпадают 3 или 5, т.е.:
- Вероятность выпадения 3: ( P(3) = \frac{1}{6} )
- Вероятность выпадения 5: ( P(5) = \frac{1}{6} )
Объединенная вероятность того, что выпадет 3 или 5:
[ P(\text{успех}) = P(3) + P(5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ]
Вероятность того, что выпадет что-то другое (не 3 и не 5):
[ P(\text{не успех}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ]
Шаг 2. Определение задачи — задачу биномиального распределения.
Нам нужно, чтобы из 4 бросков ровно 3 раза выпало 3 или 5 (успех), а один раз — другое значение.
Вероятность ровно (k=3) успехов в (n=4) испытаниях:
[ P = C^n_k \times p^k \times (1-p)^{n-k} ]
где:
- ( C^n_k ) — число сочетаний: «сколько способов выбрать 3 успеха из 4»
- ( p = \frac{1}{3} )
Шаг 3. Вычислим число сочетаний:
[ C^4_3 = \frac{4!}{3! \times (4-3)!} = 4 ]
Шаг 4. Подставим значения в формулу:
[ P = C^4_3 \times p^3 \times (1-p)^1 ]
[ P = 4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^1 ]
Шаг 5. Вычислим это:
[ P = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} ]
[ P = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} = 4 \times \frac{2}{81} = \frac{8}{81} ]
Ответ:
Вероятность того, что ровно 3 раза из 4 при бросках выпадут 3 или 5, равна (\frac{8}{81}).
