Стрелка, расположенная перпендикулярно главной оптической оси, находится на расстоянии 40 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием 40 см. Сразу за рассеивающей линзой на…
Стрелка, расположенная перпендикулярно главной оптической оси, находится на расстоянии 40 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием 40 см. Сразу за рассеивающей линзой на той же оптической оси устанавливают собирающую линзу с фокусным расстоянием 15 см. Каким было и каким стало изображение стрелки (действительное или мнимое, прямое или перевёрнутое, увеличенное или уменьшенное)? Во сколько раз изменится размер изображения стрелки
Давайте разберемся с задачей поэтапно. У нас есть две линзы, расположенные на одной оси: рассеивающая и собирающая. Стрелка находится перед рассеивающей линзой, и нам нужно определить свойства изображения стрелки до и после установки собирающей линзы, а также выяснить, как изменится его размер.
Шаг 1. Исходные данные
- Расстояние от стрелки до рассеивающей линзы: \( d_1 = 40\, \text{см} \)
- Фокусное расстояние рассеивающей линзы: \( f_1 = -40\, \text{см} \) (отрицательное для рассеивающей линзы)
- Фокусное расстояние собирающей линзы: \( f_2 = +15\, \text{см} \)
- Расстояние между линзами: равно расстоянию от рассеивающей линзы до собирающей, то есть \( d_{12} = 0\, \text{см} \). Но по условию, сразу за рассеивающей устанавливается собирающая, значит она идет после рассеивающей, на той же оси. Следовательно, расстояние между ними — это путь от рассеивающей линзы до собирающей, что, согласно условию, равно 0? Возможно, лучше воспринимать, что стрелка расположена перед рассеивающей линзой на 40 см, а собирающая — за рассеивающей — на некотором расстоянии, возможно, тоже 40 см. Но в условии — "на расстоянии 40 см от рассеивающей", и затем "прямо за рассеивающей — собирающая". Значит, расстояние между линзами — 0, т.е. они расположены рядом? Или более логично — рассеивающая и собирающая расположены последовательно.
Задача говорит: "на расстоянии 40 см от рассеивающей" — предполагается, что стрелка и рассеивающая на расстоянии 40 см, а собирающая — прямо за рассеивающей. Тогда, это значит, что расстояние между двумя линзами — 0, что маловероятно. Возможно, лучше предположить, что стрелка расположена перед рассеивающей, а собирающая — за рассеивающей, на расстоянии 40 см.
Переформулируем:
- Стрелка — перед рассеивающей на 40 см.
- Рассеющая линза — между стрелкой и собирающей линзой.
- Собирающая линза — за рассеивающей.
Пусть расстояние между линзами равно \( d_{12} \). Обычно в таких задачах предполагается, что есть расстояние между линзами. Тогда:
- Расстояние от стрелки до рассеивающей: \( d_{s} = 40\, \text{см} \)
- Расстояние между линзами: \( d_{12} \)
Но поскольку в условии явно говорится, что "сразу за рассеивающей" установлена собирающая линза, значит расстояние между линзами — очень мало или нулевое. Тогда будем считать, что стрелка находится перед рассеивающей линзой, и она на расстоянии 40 см, а собирающая линза расположена за рассеивающей на произвольном расстоянии, необходимом для решения.
Шаг 2. Определение изображения стрелки после рассеивающей линзы
Используем формулу тонкой линзы:
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \]
Где:
- \( d_o \) — расстояние до объекта (стрелки)
- \( d_i \) — расстояние до изображения
Для рассеивающей линзы: \( f_1 = -40\, \text{см} \),
\( d_o = -40\, \text{см} \) (отрицательное, потому что объект перед линзой — слева).
Подставим:
\[ \frac{1}{-40} = \frac{1}{-40} + \frac{1}{d_{i1}} \]
\[ \Rightarrow \frac{1}{d_{i1}} = \frac{1}{-40} - \frac{1}{-40} = 0 \]
Решение: \( d_{i1} \to \infty \). Это означает, что изображение формируется очень далеко за линзой, — то есть, изображение — мнимое, очень удаленное.
Но это кажется странным. Обычно, при объекте, расположенном на фокусе рассеивающей линзы, изображение — мнимое и редкое, расположенное за фокусом.
Пересчитаем чуть точнее: при \( d_o = -40\, \text{см} \), с фокусом \( -40\, \text{см} \):
\[ \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_{i}} = \frac{1}{f} \]
\[ \frac{1}{-40} + \frac{1}{d_{i}} = \frac{1}{-40} \]
\[ \Rightarrow \frac{1}{d_i} = 0 \]
То есть, изображение находится на бесконечности. Это говорит о том, что стрелка расположена ровно на фокусе рассеивающей линзы — тогда ее изображение — мнимое, очень большое и находится на бесконечности.
Для практических целей можно считать, что изображение рассматривается как очень далекое, мнимое, и оно имеет примерно те же размеры, что и объект (размер очень большой).
Шаг 3. Влияние собирающей линзы
Теперь за рассеивающей линзой находится собирающая линза с \( f_2 = +15\, \textсм \). Объектом для неё является изображение первой линзы, которое — мнимое и очень удаленное.
Что происходит?
- Мнимое и очень удаленное изображение первого этапа действует как объект для второй линзы, расположенной за первой.
- Объект для второй линзы — очень далекое, и его изображение после второй линзы зависит от фокусного расстояния и положения этого "объекта".
Но чтобы упростить, предположим, что мнимое изображение, практически расположенное на бесконечности, действует по законам геометрической оптики:
- Для очень удаленного объекта, изображение собирающей линзы формирует, исходя из расстояния до неё.
Шаг 4. Анализ для очень удаленного объекта
Для очень удаленного объекта, изображение после собирающей линзы — находится в фокусе или близко к нему:
- Положение изображения:
\[ d'_i = f_{2} = +15\,\textсм \]
- Тип изображения: для параллельного (очень удаленного) объекта, изображение — в фокусе собирающей линзы, образованное как действительное, перевёрнутое и уменьшенное.
Итог
- После рассеивающей линзы: изображение — мнимое, очень большое, практически на бесконечности.
- После собирающей линзы: изображение — действительное, перевёрнутое, уменьшенное, в фокусе (на расстоянии 15 см за линзой).
Вопрос о свойствах изображения:
До установки второй линзы:
- Мнимое, очень большое, "в бесконечности" (практически).
После установки второй линзы: - Действительное, перевёрнутое, уменьшенное, в фокусе (в пределах 15 см).
Итоговая информация:
| Параметр | До собирающей линзы | После собирающей линзы |
|---|---|---|
| Виды изображения | Мнимое, очень большое, в бесконечности | Действительное, перевёрнутое, уменьшенное |
| Размер изображения | Очень большое | Уменьшенный |
| Размер изменения | Раз размер увеличился | Уменьшился |
| Коэффициент увеличения (≈ \( M \)) | — (бесконечно большое) | Надо определить |
Шаг 5. Расчет коэффициента увеличения
Условно, исходное изображение или размер стрелки — \( h_{0} \).
Первое изображение — очень большое (бесконечность), в масштабах можно считать, что оно не имеет конечных размеров для практического решения.
После сборки — изображение уменьшено в сравнении с начальным объектом.
Коэффициент увеличения собирающей линзы:
\[ M = - \frac{d_i}{d_o} \]
где:
- \( d_o \to \infty \) (для очень удаленного объекта), значит \( M \to 0 \).
- Поэтому изображение — очень уменьшенное.
Итоговые выводы:
До сборки: изображение мнимое, очень большое, расположенное в бесконечности, перевернутое. (или можно сказать — объект находится в фокусе рассеивающей линзы, изображение в бесконечности).
После сборки: изображение — действительное, перевёрнутое, уменьшенное, находится в фокусе собирающей линзы. Размер изображения уменьшается примерно в несколько раз (зависит от расстояния и фокусных расстояний, но точно — изображение уменьшено).
Величина изменения размера:
Размер изображения уменьшен примерно в (отношение) \( \approx \frac{f_{2}}{d} \), что говорит о значительном уменьшении.
Итоговое короткое решение:
Стрелка, находящаяся на расстоянии 40 см перед рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 40 см, дает при рассеивающей линзе мнимое очень большое изображение, расположенное очень далеко. После установки собирающей линзы с фокусным расстоянием 15 см, это изображение преобразуется в действительное, перевёрнутое, уменьшенное и расположенное в фокусе собирающей линзы. Размер изображения уменьшается примерно в несколько раз.
Если нужно более точное числовое значение коэффициента уменьшения, то потребуется знать точное расстояние между линзами и расположение объекта относительно обеих.
