Рассмотрим условие задачи:
- Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 125.
- Сумма первых трех её членов равна 124.
- Нужно найти первый член ( a_1 ) и знаменатель прогрессии ( q ).
Обозначим:
- Первый член прогрессии: ( a_1 )
- Знаменатель прогрессии: ( q )
Шаг 1: Формулы для суммы бесконечной прогрессии
Если (|q| < 1), то сумма бесконечной геометрической прогрессии:
[
S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}
]
Дано ( S_\infty = 125 ):
[
\frac{a_1}{1 - q} = 125 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 125(1 - q)
]
Шаг 2: Сумма первых трех членов
Первые три члена прогрессии:
[
a_1, \quad a_1 q, \quad a_1 q^2
]
Сумма первых трех членов:
[
S_3 = a_1 + a_1 q + a_1 q^2
]
Это геометрическая сумма:
[
S_3 = a_1 (1 + q + q^2)
]
Дано ( S_3 = 124 ):
[
a_1 (1 + q + q^2) = 124
]
Подставим ( a_1 = 125(1 - q) ):
[
125 (1 - q) (1 + q + q^2) = 124
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
[
(1 - q)(1 + q + q^2) = 1 \cdot (1 + q + q^2) - q(1 + q + q^2)
]
[
= (1 + q + q^2) - q - q^2 - q^3
]
Обратите внимание:
[
(1 + q + q^2) - q - q^2 = 1
]
так как ( +q - q = 0 ), ( +q^2 - q^2 = 0 ). Остается:
[
1 - q^3
]
Значит, уравнение превращается в:
[
125 (1 - q^3) = 124
]
Шаг 4: Решаем уравнение для ( q )
[
125 (1 - q^3) = 124
]
Поделим обе части на 125:
[
1 - q^3 = \frac{124}{125}
]
[
q^3 = 1 - \frac{124}{125} = \frac{125}{125} - \frac{124}{125} = \frac{1}{125}
]
Следовательно:
[
q^3 = \frac{1}{125}
]
Вычислим ( q ):
[
q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}
]
Шаг 5: Находим ( a_1 )
Подставим ( q = \frac{1}{5} ) обратно в выражение для ( a_1 ):
[
a_1 = 125(1 - q) = 125 \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 125 \times \frac{4}{5} = 125 \times 0.8 = 100
]
Ответ:
[
\boxed{
a_1 = 100, \quad q = \frac{1}{5}
}
]
Это решения для первого члена и знаменателя прогрессии.
