Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 125, а сумма трех ее первых членов равна 124. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Рассмотрим условие задачи:
- Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 125.
- Сумма первых трех её членов равна 124.
- Нужно найти первый член \( a_1 \) и знаменатель прогрессии \( q \).
Обозначим:
- Первый член прогрессии: \( a_1 \)
- Знаменатель прогрессии: \( q \)
Шаг 1: Формулы для суммы бесконечной прогрессии
Если \(|q| < 1\), то сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\[ S_\infty = \frac{a_1}{1 - q} \]
Дано \( S_\infty = 125 \):
\[ \frac{a_1}{1 - q} = 125 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 125(1 - q) \]
Шаг 2: Сумма первых трех членов
Первые три члена прогрессии:
\[ a_1, \quad a_1 q, \quad a_1 q^2 \]
Сумма первых трех членов:
\[ S_3 = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 \]
Это геометрическая сумма:
\[ S_3 = a_1 (1 + q + q^2) \]
Дано \( S_3 = 124 \):
\[ a_1 (1 + q + q^2) = 124 \]
Подставим \( a_1 = 125(1 - q) \):
\[ 125 (1 - q) (1 + q + q^2) = 124 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
\[ (1 - q)(1 + q + q^2) = 1 \cdot (1 + q + q^2) - q(1 + q + q^2) \]
\[ = (1 + q + q^2) - q - q^2 - q^3 \]
Обратите внимание:
\[ (1 + q + q^2) - q - q^2 = 1 \]
так как \( +q - q = 0 \), \( +q^2 - q^2 = 0 \). Остается:
\[ 1 - q^3 \]
Значит, уравнение превращается в:
\[ 125 (1 - q^3) = 124 \]
Шаг 4: Решаем уравнение для \( q \)
\[ 125 (1 - q^3) = 124 \]
Поделим обе части на 125:
\[ 1 - q^3 = \frac{124}{125} \]
\[ q^3 = 1 - \frac{124}{125} = \frac{125}{125} - \frac{124}{125} = \frac{1}{125} \]
Следовательно:
\[ q^3 = \frac{1}{125} \]
Вычислим \( q \):
\[ q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5} \]
Шаг 5: Находим \( a_1 \)
Подставим \( q = \frac{1}{5} \) обратно в выражение для \( a_1 \):
\[ a_1 = 125(1 - q) = 125 \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 125 \times \frac{4}{5} = 125 \times 0.8 = 100 \]
Ответ:
\[ \boxed{ a_1 = 100, \quad q = \frac{1}{5} } \]
Это решения для первого члена и знаменателя прогрессии.
